[论文解读] The Computational Complexity of the Traveling Salesman Problem

Craig Alan Feinstein|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2006

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明了在经典计算机上，旅行商问题（TSP）无法在多项式时间内求解，通过建立任何确定性精确算法的最坏情况运行时间下界为 Θ(2^n) 来实现。它使用 TSP 子问题的递归动态规划公式，表明必须评估所有 2^n 个城市子集，从而确认不存在更快的精确解法。

ABSTRACT

In this note, we show that the Traveling Salesman Problem cannot be solved in polynomial-time on a classical computer.

研究动机与目标

• 建立使用确定性精确算法求解旅行商问题（TSP）的时间复杂度的理论下界。
• 通过分析子问题的递归结构，证明任何经典算法都无法在多项式时间内求解 TSP。
• 确认已知的 TSP 最优算法（时间复杂度为 Θ*(2^n)）对于确定性精确计算而言是渐近最优的。
• 通过状态函数 Δ(S,i) 将 TSP 形式化为动态规划问题，其中 Δ(S,i) 表示访问集合 S 中所有城市并以城市 i 结束的最短路径。
• 证明 Δ(S,i) 的递归计算无法简化，必须对 {2,…,n} 的所有 2^n 个子集进行评估。

提出的方法

• 定义 Δ(S,i) 为从城市 1 出发，访问集合 S⊆{2,…,n} 中所有城市并以城市 i 结束的最小距离。
• 使用递推公式 Δ(S,i) = min{Δ(S−{i},j) + δ(j,i)}（其中 j ∈ S−{i}），基础情况为 Δ({i},i) = δ(1,i)。
• 证明 Δ(S,i) 的递归公式无法简化，必须对 {2,…,n} 的所有非空子集 S 进行计算。
• 论证计算 Δ({2,…,n},n) 需要对 Θ(2^n) 个不同的子集和城市进行评估，从而得出 Θ(2^n) 的时间复杂度下界。
• 将推导出的下界与已知的 1962 年算法（Held-Karp）进行比较，该算法实现 Θ*(2^n) 时间复杂度，确认其渐近最优性。
• 利用 δ(i,j) 的对称性和正定性，以及对精确解的要求，排除更快的确定性算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 旅行商问题是否可以在经典计算机上以多项式时间求解？
• RQ2 任何确定性精确算法求解 TSP 的最小可能最坏情况时间复杂度是多少？
• RQ3 Held-Karp 算法（时间复杂度为 Θ*(2^n)）是否对于精确求解 TSP 渐近最优？
• RQ4 TSP 子问题的递归公式 Δ(S,i) 是否可以被简化，以使时间复杂度低于 Θ(2^n)？
• RQ5 TSP 子问题空间的结构是否本质上要求以指数时间精确求解？

主要发现

• 旅行商问题无法在经典计算机上以多项式时间求解。
• 任何确定性精确算法求解 TSP 在最坏情况下都必须耗费 Ω(2^n) 时间。
• TSP 子问题 Δ(S,i) 的递归动态规划公式无法简化，必须对所有 Θ(2^n) 个子集进行评估。
• 目前已知的最快确定性精确算法（1962 年发表）的时间复杂度为 Θ*(2^n)，与推导出的下界一致。
• 该问题的本质结构要求对所有城市子集进行计算，从而确立了基本的指数时间下界。
• 该结果在确定性经典计算的假设下，确认 TSP 不属于 P，进一步强化了其 NP-难的性质。