[论文解读] The concentration-compactness principle for variable exponent spaces and applications

Julián Fernández Bonder, Analía Silva|ArXiv.org|Jun 10, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 34

一句话总结

本文将 P.L. Lions 的集中紧性原理推广至变指数 Lebesgue 与 Sobolev 空间，证明在 $W_0^{1,p(x)}(\theta)$ 中弱收敛序列的测度集中仅发生在指数 $q(x)$ 为临界值（即 $q(x) = p^*(x)$）的点上。关键结果建立了极限测度的精细分解，其中最优 Sobolev 型不等式控制集中行为，并将该结果应用于证明 $p(x)$-Laplacian 方程在临界与次临界非线性项下存在无穷多组解。

ABSTRACT

In this paper we extend the well-known concentration -- compactness principle of P.L. Lions to the variable exponent case. We also give some applications to the existence problem for the $p(x)-$Laplacian with critical growth.

研究动机与目标

• 将 P.L. Lions 的经典集中紧性原理推广至变指数 Lebesgue 与 Sobolev 空间设定。
• 分析当非线性项在某些点处具有临界增长 $q(x) = p^*(x)$ 时，$W_0^{1,p(x)}(\theta)$ 中序列的集中行为。
• 建立精细的测度分解，表明狄拉克测度精确集中在集合 $\mathcal{A} = \{x \in \Omega : q(x) = p^*(x)\}$ 上。
• 将扩展后的原理应用于证明 $p(x)$-Laplacian 方程在临界与次临界非线性项组合下解的存在性。
• 建立关于权函数 $\lambda(x)$ 的条件，以确保根据 $r(x)$ 的增长情况，存在无穷多组解或至少一组非平凡解。

提出的方法

• 通过分析 $|\nabla u_j|^{p(x)}$ 与 $|u_j|^{q(x)}$ 的弱-* 极限，证明变指数空间下的广义集中紧性原理。
• 利用带变指数的 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式定义最佳常数 $S = S_q(\Omega)$，该常数控制集中阈值。
• 证明集中仅发生在满足 $x_i \in \mathcal{A} = \{x : q(x) = p^*(x)\}$ 的点上，且满足 $\mu_i \geq S \nu_i^{1/p^*(x_i)} \cdot \mu_i^{1/p(x_i)}$。
• 通过使用光滑截断函数 $\varphi$ 构造截断泛函 $\tilde{\mathcal{F}}(u)$，以局部化能量并确保子水平集中满足 Palais-Smale 条件。
• 将 Krasnoselskii 亏格理论应用于截断泛函的子水平集，以证明存在无穷多组临界点。
• 利用比较论证与变指数范数中的齐次性估计，控制有限维子空间中泛函的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将集中紧性原理推广至临界指数 $p^*(x)$ 在空间中变化的变指数 Sobolev 空间？
• RQ2 对于具有 $q(x)$-增长的序列，其极限中集中质量确切累积在何处，特别是当 $q(x)$ 仅在 $\Omega$ 的子集上为临界值时？
• RQ3 在权函数 $\lambda(x)$ 与指数 $p(x), q(x), r(x)$ 满足何种条件下，可保证 $p(x)$-Laplacian 方程在临界与次临界项组合下存在无穷多组解？
• RQ4 在变指数设定下，对于具有临界增长的泛函，当标准紧性失效时，如何恢复 Palais-Smale 条件？
• RQ5 Krasnoselskii 亏格方法能否被适配以在非恒定临界指数的变指数情形下证明解的多重性？

主要发现

• 集中紧性原理成功推广至变指数空间，且质量集中仅发生在 $q(x) = p^*(x)$ 的点上。
• 极限测度 $\nu$ 可分解为 $|u|^{q(x)} + \sum_i \nu_i \delta_{x_i}$，其中 $\nu_i > 0$，且 $\mu \geq |\nabla u|^{p(x)} + \sum_i \mu_i \delta_{x_i}$，其中 $\mu_i > 0$。
• 集中行为由精确不等式 $S \nu_i^{1/p^*(x_i)} \leq \mu_i^{1/p(x_i)}$ 控制，其中 $S$ 为变指数 Sobolev 嵌入的最佳常数。
• 当 $r(x) < p^*(x) - \delta$ 时，若 $\inf_{x \in \mathcal{A}_\delta} \lambda(x) > \lambda_0$，其中 $\lambda_0 > 0$ 依赖于 $p,q,r,N,\Omega$，则至少存在一组非平凡解。
• 当 $r(x) < p(x)$ 时，若 $\|\lambda\|_{L^\infty} < \lambda_1$，其中 $\lambda_1 > 0$ 仅依赖于 $p,q,r,N,\Omega$，则存在无穷多组解。
• 截断泛函 $\tilde{\mathcal{F}}$ 在能量水平 $c \leq 0$ 时满足局部 Palais-Smale 条件，从而可应用亏格理论证明解的多重性。