[论文解读] The Concepts and Applications of Fractional Order Differential Calculus in Modelling of Viscoelastic Systems: A primer

Mohammad M. Amirian, Yousef Jamali|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用 9

一句话总结

本文提供了一份关于将分数阶微分微积分应用于建模材料黏弹性行为（尤其是生物系统）的教程，表明分数阶模型能够精确捕捉复杂机械响应（如形状记忆效应）。研究显示，分数阶模型在拟合实验数据方面优于标准线性模型，为软物质和生物组织的黏弹性表征提供了更精确的替代方案。

ABSTRACT

Viscoelasticity and related phenomena are of great importance in the study of mechanical properties of material especially, biological materials. Certain materials show some complex effects in mechanical tests, which cannot be described by standard linear equation (SLE) mostly owing to shape memory effect during deformation. Recently, researchers have been applying fractional calculus in order for probing viscoelasticity of such materials with a high precision. Fractional calculus is a powerful tool for modeling complex phenomenon. In this tutorial based paper, we try present clear descriptions of the fractional calculus, its techniques and its implementation. The intention is to keep the details to a minimum while still conveying a good idea of what and how can be done with this powerful tool. We try to expose the reader to the basic techniques that are used to solve the fractional equations analytically and/or numerically. More specifically, modeling the shape memory phenomena with this powerful tool are studied from different perspectives, as well as presented some physical interpretation in this case. Moreover, in order to show the relationship between fractional models and standard linear equations, a fractal system comprising spring and damper elements is considered, and the constitutive equation is approximated with a fractional element. Finally, after a brief literature review, two fractional models are utilized to investigate the viscoelasticity of the cell, and the comparison is made among them, experimental data, and previous models. Verification results indicate that not only does the fractional model match the experimental data well, but it also can be a good substitute for previously used models.

研究动机与目标

• 为生物物理和软物质领域的研究人员提供一份清晰、易懂的分数阶微积分入门介绍。
• 展示分数阶微分方程如何比经典模型更精确地模拟黏弹性现象，特别是形状记忆效应。
• 建立分数阶微积分与黏弹性系统中传统弹簧阻尼模型之间的联系。
• 通过与标准线性模型及先前模型的对比，利用实验数据验证分数阶模型在细胞黏弹性中的表现。
• 推动将分数阶微积分作为建模软质和生物材料中复杂机械行为的稳健工具的广泛应用。

提出的方法

• 介绍分数阶微积分的数学基础，包括黎曼-刘维尔和卡波托定义的分数阶导数。
• 应用分数阶本构方程，通过分数阶元件（例如，弹簧阻尼器）建模黏弹性行为，这些元件广义化了经典弹簧和阻尼器。
• 推导出由弹簧和阻尼器组成的分形系统的本构方程，表明其等价于一个分数阶微分方程。
• 使用解析与数值方法求解与黏弹性松弛和蠕变响应相关的分数阶微分方程。
• 将两种分数阶模型——具体而言，分数阶Zener模型与分数阶麦克斯韦模型——与细胞力学的实验数据进行对比。
• 通过将分数阶模型拟合至实验黏弹性数据并评估其拟合优度，对模型进行验证，与标准线性模型进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶微积分实现比经典整数阶模型更高的精度来模拟黏弹性行为？
• RQ2 在黏弹性系统中，分数阶元件（例如，弹簧阻尼器）的物理解释是什么？
• RQ3 从弹簧和阻尼器的分形排列中推导出的分数阶模型与标准线性模型相比有何差异？
• RQ4 分数阶模型能否准确描述生物材料中观察到的形状记忆效应和时间依赖性机械行为？
• RQ5 与先前使用的标准线性模型相比，分数阶模型在拟合实验黏弹性数据方面表现如何？

主要发现

• 与标准线性模型相比，分数阶模型对细胞实验黏弹性数据的拟合效果更优。
• 分数阶Zener模型与分数阶麦克斯韦模型能有效捕捉生物组织中观察到的复杂松弛和蠕变行为。
• 弹簧阻尼器元件（代表分数阶黏弹性元件）成功地推广了经典弹簧和阻尼器的行为。
• 弹簧和阻尼器的分形排列产生一个本构方程，其可简化为分数阶微分方程，从而建立了微观结构与宏观行为之间的联系。
• 本研究证明，分数阶微积分能够更准确地表征材料在形变下发生的形状记忆效应。
• 验证结果表明，分数阶模型不仅更精确，而且可作为传统模型在黏弹性系统分析中的可行替代方案。