[论文解读] The conductivity measure for the Anderson model

Abel Klein, Peter Müller|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用 13

一句话总结

该论文在零温下为安德森紧束缚模型建立了严格的数学框架，定义了任意费米能级 𝜇 下的电导率测度 Σ₀ᵘ(𝑑ν)。证明了有限温度下的电导率测度 Σₜᵘ(𝑑ν) 几乎处处（关于勒贝格测度）弱收敛于零温极限，从而通过零温下的电导率测度验证了线性响应电流公式的合理性。

ABSTRACT

We study the ac-conductivity in linear response theory for the Anderson tight-binding model. We define the electrical ac-conductivity and calculate the linear-response current at zero temperature for arbitrary Fermi energy. In particular, the Fermi energy may lie in a spectral region where extended states are believed to exist.

研究动机与目标

• 为具有任意费米能级 𝜇 的安德森模型在零温下定义交流电导率测度 Σ₀ᵘ(𝑑ν)。
• 通过证明有限温度下的电导率测度 Σₜᵘ(𝑑ν) 几乎处处（关于勒贝格测度）弱收敛于 Σ₀ᵘ(𝑑ν)，从而在 𝑇=0 时验证线性响应电流公式的合理性。
• 将此前仅适用于 𝑇>0 的电导率测度数学框架扩展至零温情形，尤其在扩展态区域中，此前推导曾失败。
• 为零温区域中的同相线性响应电流提供严格的理论基础，即使 𝜇 位于存在扩展态的谱区域也成立。

提出的方法

• 电导率测度 Σₜᵘ(𝑑ν) 定义为 ℝ 上的有限正偶 Borel 测度，表示对外加电场的频率依赖响应。
• 同相线性响应电流通过电导率测度的傅里叶变换表达：𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,𝑇,𝐸) = ∫ℝ Σₜᵘ(𝑑𝜈) 𝑒ⁱⁿᵗ 𝐸̂(𝜈)。
• 零温电导率测度 Σ₀ᵘ(𝑑ν) 定义为对几乎所有费米能级 𝜇 ∈ ℝ，有弱极限 lim_{𝑇↓0} Σₜᵘ(𝑑ν)。
• 𝑇=0 时的线性响应电流定义为有限温度电流的逐点极限：𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,0,𝐸) = lim_{𝑇↓0} 𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,𝑇,𝐸)。
• 推导依赖于可测协变算子理论以及遍历随机薛定谔算子背景下李维维利安形式体系。
• 弱收敛性的证明依赖于安德森哈密顿算子的谱性质以及完全局域化区域，在该区域中格林函数的指数衰减保证了测度的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当费米能级位于扩展态区域时，安德森模型中的交流电导率是否能在零温下被严格定义？
• RQ2 对于几乎所有费米能级 𝜇，有限温度电导率测度 Σₜᵘ(𝑑ν) 是否在 𝑇↓0 时弱收敛于某极限？
• RQ3 𝑇=0 时的同相线性响应电流是否可通过有限温度电流公式的极限得到合理解释？
• RQ4 在缺乏局域化的情况下，特别是在存在扩展态时，电导率测度在 𝑇=0 时的行为如何？
• RQ5 电导率测度框架是否可在不假设局域化或谱间隙的前提下推广至 𝑇=0？

主要发现

• 零温电导率测度 Σ₀ᵘ(𝑑ν) 被严格定义为当 𝑇↓0 时有限温度测度 Σₜᵘ(𝑑ν) 的弱极限，对几乎所有费米能级 𝜇 ∈ ℝ 成立。
• 𝑇=0 时的同相线性响应电流通过有限温度电流的极限定义良好，且其表达式与包含 Σ₀ᵘ(𝑑ν) 傅里叶变换的积分公式一致。
• 收敛性 Σₜᵘ(𝑑ν) → Σ₀ᵘ(𝑑ν) 几乎处处（关于勒贝格测度）弱收敛，确保了零温极限的数学一致性。
• 该结果验证了在零温区域中使用电导率测度形式体系的合理性，即使在存在扩展态的谱区域中，此前推导曾失败。
• 该框架适用于任意费米能级，包括局域化不成立的谱区域，从而显著扩展了线性响应理论的适用范围。
• 证明依赖于完全局域化区域，其中格林函数的指数衰减确保了测度的收敛性。