[论文解读] The conformal theory of Alexandrov embedded constant mean curvature surfaces in $R^3$

Rafe Mazzeo, Frank Pacard+1 more|ArXiv.org|Oct 9, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 19

一句话总结

本文建立了一般粘合定理，通过在任意非退化常平均曲率（CMC）曲面上粘合小颈尺寸的半Delaunay曲面，构造ℝ³中的新非退化常平均曲率（CMC）曲面。此外，本文证明了对于亏格零的情况，从CMC模空间到共形结构空间的遗忘映射是满射，表明模空间具有丰富的拓扑结构，尤其对于具有三个或更多端点的曲面。

ABSTRACT

We first prove a general gluing theorem which creates new nondegenerate constant mean curvature surfaces by attaching half Delaunay surfaces with small necksize to arbitrary points of any nondegenerate CMC surface. The proof uses the method of Cauchy data matching from \cite{MP}, cf. also \cite{MPP}. In the second part of this paper, we develop the consequences of this result and (at least partially) characterize the image of the map which associates to each complete, Alexandrov-embedded CMC surface with finite topology its associated conformal structure, which is a compact Riemann surface with a finite number of punctures. In particular, we show that this `forgetful' map is surjective when the genus is zero. This proves in particular that the CMC moduli space has a complicated topological structure. These latter results are closely related to recent work of Kusner \cite{Ku}.

研究动机与目标

• 开发一种在ℝ³中构造新非退化常平均曲率（CMC）曲面的一般粘合方法。
• 刻画将每个Alexandrov-嵌入CMC曲面映射为其共形结构的遗忘映射的像。
• 证明亏格零且具有k ≥ 3个端点的CMC曲面模空间在拓扑上是复杂的，因为共形结构映射是满射。
• 确立CMC模空间具有非平凡的基本群，尤其在高亏格和大k值时。
• 探讨模空间上拉格朗日结构的含义及其几何意义。

提出的方法

• 作者利用先前工作中基于柯西数据匹配的方法，将小颈尺寸的半Delaunay曲面粘合到非退化CMC曲面的任意点上。
• 通过控制雅可比算子并确保不存在衰减的雅可比场，保证粘合后的曲面保持CMC且非退化。
• 该方法依赖于Alexandrov-嵌入CMC曲面端点的强渐近控制，其收敛于具有明确定义颈尺寸参数的Delaunay曲面。
• 通过将曲面的共形结构映射到带穿孔的紧致黎曼曲面的陶里丘空间，分析其共形结构。
• 对于亏格零的情况，利用与端点颈尺寸相关的陶里丘空间中的环路属于模空间基本群的像这一事实，证明了遗忘映射的满射性。
• 分析借助了Kusner及早期粘合技术的结果，以确保对颈尺寸和拓扑的精确控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将小颈尺寸的半Delaunay曲面粘合到现有曲面上，构造出ℝ³中新的非退化CMC曲面？
• RQ2 对于具有k ≥ 3个端点的亏格零CMC曲面，从CMC模空间到共形结构空间的遗忘映射是否是满射？
• RQ3 CMC模空间的拓扑复杂性如何，特别是其基本群的结构？
• RQ4 模空间上的拉格朗日结构能否用于定义具有物理意义的几何不变量或一形式？
• RQ5 模空间中是否存在退化CMC曲面？若存在，对粘合构造意味着什么？

主要发现

• 建立了一般粘合定理，通过在任意非退化CMC曲面上任意点粘合小颈尺寸的半Delaunay曲面，构造出非退化CMC曲面。
• 对于亏格零且k ≥ 3个端点的情况，从CMC模空间到共形结构空间的遗忘映射是满射。
• 亏格零且具有k ≥ 3个端点的CMC曲面模空间的基本群映满k条辫的完整辫群，表明其具有高度的拓扑复杂性。
• 模空间基本群在遗忘映射下的像包含由端点颈尺寸交换对应的环路生成的子群，当k > k₀且亏格 ≥ 1时成立。
• 将遗忘映射限制在颈尺寸一致有界的曲面上时，其为正规映射，意味着共形结构的退化对应于模空间中的几何退化。
• 本文提供了证据表明CMC模空间可能具有自然的拉格朗日结构，暗示可能存在具有几何意义的典范一形式。