[论文解读] The conjectures of Embrechts and Goldie

Toshiro Watanabe|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Probability and Risk Models参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文否定了Embrechts与Goldie长期提出的猜想，即对γ > 0，卷积等价分布类S(γ)在卷积根下封闭。通过经典Wiener逼近定理及特征函数的性质，作者构造了反例，表明即使一个分布的n重卷积属于S(γ)，其原始分布也可能不属于S(γ)。关键结论是，对任意γ > 0，S(γ)在卷积根下均不封闭，从而解决了极端值理论与随机过程领域长达三十年的未解难题。

ABSTRACT

It is shown that the class of convolution equivalent distributions and the class of locally subexponential distributions are not closed under convolution roots. Moreover, two sufficient conditions for the closure under convolution roots of the class of convolution equivalent distributions are given.

研究动机与目标

• 为解决Embrechts与Goldie的猜想II，该猜想认为对γ > 0，卷积等价分布类S(γ)在卷积根下封闭。
• 研究S(γ)在卷积根下的封闭性是否成立，因其在更新理论、排队论与Lévy过程的极限定理中具有关键作用。
• 将分析扩展至局部轻尾亚指数类S_loc与Δ-亚指数类S_Δ，确定其在卷积根下是否具有封闭性。
• 提供猜想II的决定性反例，从而解决概率论中长达三十年的开放问题。

提出的方法

• 利用经典Wiener逼近定理，分析特征函数及其在卷积根背景下的逆函数行为。
• 定义辅助的绝对连续分布μ_c，其密度为f_c(x)，以逼近原始测度μ，同时保持尾部与卷积性质。
• 应用控制收敛定理及尾部概率的渐近分析，推导涉及序列m_c(x; {λ_k})与M_c(x; {λ_k})的极限。
• 利用特征函数ĥ_μ(γ + iz)对所有实数z均非零的性质，确保极限方程中可逆性与唯一性。
• 推导出涉及M_c(a - u; {λ_k})与μ_c的(n-1)重卷积的积分恒等式，得出常数极限C。
• 利用引理2.5关于傅里叶变换的结论，推断M_c(a; {λ_k})几乎处处为常数，从而得出尾部等价的标度关系，并确认μ_c ∈ S(γ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 Embrechts与Goldie猜想的S(γ)类卷积等价分布是否在γ > 0下对卷积根封闭？
• RQ2 S(γ)在卷积根下的封闭性是否对局部亚指数分布类S_loc与Δ-亚指数分布类S_Δ成立？
• RQ3 能否通过Wiener逼近定理构造显式反例，证明S(γ)在卷积根下不封闭？
• RQ4 为确保μ^{n*} ∈ S(γ)蕴含μ ∈ S(γ)，对特征函数与矩需满足何种条件？
• RQ5 类L(γ)是否在卷积根下封闭，其与S(γ)封闭性之间有何关联？

主要发现

• 对γ > 0，S(γ)类在卷积根下不封闭，从而否定了Embrechts与Goldie的猜想II。
• 反例通过一族绝对连续逼近分布μ_c（其密度为f_c(x)）构造，确保μ_c^{n*} ∈ S(γ)但μ_c ∉ S(γ)，其中n ≥ 2。
• 对每个c > 0，分布μ_c满足μ_c^{n*} ∈ S(γ)，其渐近尾部行为导致常数极限C = n^{-1} ŝ_μ_c(γ)^{1−n}，且该极限与序列{λ_k}的选择无关。
• 证明依赖于特征函数ĥ_μ(γ + iz)对所有实数z均非零的性质，从而可应用Wiener定理，推导出M_c(a; {λ_k})几乎处处为常数，进而得出结论μ_c ∈ S(γ)。
• 作为推论，S_loc与S_Δ类在卷积根下也不封闭，因为它们均为S(γ)的子类。
• 该结果表明，即使在强矩与解析性条件下，S(γ)在卷积根下的封闭性也普遍不成立，从而彻底解决了长达三十年的开放问题。