[论文解读] The conjugacy growth of the soluble Baumslag-Solitar groups

Laura Ciobanu, Alex Evetts+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文对可解 Baumslag-Solitar 群 $BS(1,k)$（$k \geq 2$）中的测地共轭代表元提供了完整描述，显式计算了其共轭增长级数，并证明该级数为超越函数。此外，本文进一步证明了这些群中，共轭增长速率等于标准增长速率，从而证实了一个关于非几乎阿贝尔群的广泛类群的猜想。

ABSTRACT

In this paper we give asymptotics for the conjugacy growth of the soluble Baumslag-Solitar groups $BS(1,k)$, $k\geq 2$, with respect to the standard generating set, by providing a complete description of geodesic conjugacy representatives. We show that the conjugacy growth series for these groups are transcendental, and give formulas for the series. As a result of our computation we also establish that in each $BS(1,k)$ the conjugacy and standard growth rates are equal.

研究动机与目标

• 确定可解 Baumslag-Solitar 群 $BS(1,k)$（$k \geq 2$）中，共轭增长函数的渐近行为。
• 针对标准生成集 $\{a,t\}$，对 $BS(1,k)$ 中的测地共轭代表元提供完整表征。
• 显式计算共轭增长级数并确立其超越性质。
• 确认在 $BS(1,k)$ 中，共轭增长速率与标准增长速率相等，从而支持关于有限表示群中增长性质的更广泛猜想。

提出的方法

• 作者利用 $BS(1,k) \cong \mathbb{Z}_k \rtimes \mathbb{Z}$ 中的规范形式，对测地共轭代表元进行分类。
• 他们将共轭类分解为 $\mathbb{Z}_k$ 内部与外部两类，并分别分析每一部分。
• 对于位于 $\mathbb{Z}_k$ 外部的元素，应用形式语言组合学中的循环构造方法，计算在循环置换下的代表元数量。
• 通过公式 $\sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}(z^k))$ 推导生成函数，其中 $\mathcal{S}(z)$ 是一组代表元的生成函数。
• 通过合并 $\mathbb{Z}_k$ 的级数与外部共轭类的级数，并减去重复计数的元素，构建共轭增长级数。
• 通过渐近分析证明级数的超越性，即 $c(n) \sim \alpha^n / n$（$\alpha > 1$），从而表明其非代数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对于标准生成集，$BS(1,k)$ 中共轭类数量的精确渐近增长速率是什么？
• RQ2 是否 $BS(1,k)$ 的共轭增长级数为超越函数？若是，其闭式表达式为何？
• RQ3 $BS(1,k)$ 中共轭增长速率与标准增长速率是否一致？这一结论是否在所有生成集下均成立？
• RQ4 能否通过测地代表元上的组合方法，完全描述 $BS(1,k)$ 的共轭增长级数？
• RQ5 在 $BS(1,k)$ 中，共轭增长级数的超越性质是否支持如下猜想：仅几乎阿贝尔群具有有理共轭增长级数？

主要发现

• 相对于标准生成集 $\{a,t\}$，$BS(1,k)$ 的共轭增长级数为超越函数，其渐近行为为 $c(n) \sim \alpha^n / n$（$\alpha > 1$），已得证。
• 在 $BS(1,k)$ 中，共轭增长速率与标准增长速率相等，这是通过比较生成函数分母的主导根与群的增长速率所确立的。
• 当 $k = 2r+1$ 为奇数时，$\mathbb{Z}_k$ 外部共轭类的生成函数为 $Cyc(\mathcal{A}_o)(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}_o(z^k))$，其中 $\mathcal{S}_o(z)$ 是一组长度为 $(r+1)$ 的字的生成函数。
• 当 $k = 2r$ 为偶数时，生成函数为 $Cyc(\mathcal{A}_e)(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}_e(z^k))$，其中 $\mathcal{S}_e(z)$ 定义在一组受限的代表元集合上。
• 通过将 $\mathbb{Z}_k$ 的级数与外部类的级数相加，并减去规范形式中重复计数的元素，得到 $BS(1,k)$ 的完整共轭增长级数。
• 结果表明，尽管 $BS(1,k)$ 不是超合性双曲群，其共轭增长渐近行为仍与双曲群及超合性双曲群相似，从而支持了关于增长级数的更广泛猜想。