[论文解读] The Conley Attractor of an Iterated Function System

Michael F. Barnsley, Andrew Vince|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文研究了在非压缩映射下的迭代函数系统（IFS）中的Conley吸引子，重点关注紧致度量空间上的可逆IFS。证明了每个Conley吸引子都存在一个吸引块，并表明链递归点集等于所有吸引子-排斥子对的交集，将Conley的指标理论扩展至IFS动力系统。

ABSTRACT

We investigate the topological and metric properties of attractors of an iterated function system (IFS) whose functions may not be contractive. We focus, in particular, on invertible IFSs of finitely many maps on a compact metric space. We rely on ideas Kieninger and McGehee and Wiandt, restricted to what is, in many ways, a simpler setting, but focused on a special type of attractor, namely point-fibred minimal (locally) invariant sets. This allows us to give short proofs of some of the key ideas.

研究动机与目标

• 分析迭代函数系统（IFS）中吸引子的拓扑与度量性质，其中分量映射不一定是压缩的。
• 将Conley关于吸引子与排斥子的理论从单个映射推广至有限个映射的族（即IFS），特别是在可逆情形下。
• 建立IFS的吸引子与逆IFS（$\mathcal{F}^*$）的排斥子之间的对偶性，形成吸引子-排斥子对。
• 通过所有此类吸引子-排斥子对的交集来刻画链递归点集。
• 澄清Conley吸引子成为严格吸引子的条件，特别是在仿射与Möbius IFS中。

提出的方法

• 使用吸引块（即其在IFS下的像包含于内部的紧致集）作为分析Conley吸引子的核心工具。
• 应用链递归点的概念，并构造$ε$-链以分析动力系统中的递归与非递归行为。
• 利用IFS与其逆IFS（$\mathcal{F}^*$）之间的对偶性来定义吸引子-排斥子对，其中$A$是$\mathcal{F}$的Conley吸引子，$A^*$是$\mathcal{F}^*$的Conley吸引子。
• 在紧致子集空间上使用Hausdorff度量，将IFS视为$\mathbb{H}(\mathbb{X})$上的自映射，从而支持收敛性论证。
• 依赖Kieninger与McGehee–Wiandt关于纤维化与不变集的研究成果，以简化IFS设定下的证明。
• 利用闭集迭代像的极限（$\lim_{k\to\infty} \mathcal{F}^k(\overline{U})$）从吸引 basin 构造Conley吸引子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非压缩IFS中，Conley吸引子在何种条件下仍具有吸引块？
• RQ2 在可逆IFS中，吸引子-排斥子对与系统链递归集之间有何关系？
• RQ3 Conley吸引子是否可能不是严格吸引子？若可能，其动力或几何条件为何？
• RQ4 自然地址函数的存在性与Conley吸引子的严格性之间有何关系？
• RQ5 在何种情况下，非压缩IFS仍存在严格吸引子，特别是仿射或Möbius IFS中？

主要发现

• 在紧致度量空间上的IFS中，每个Conley吸引子都存在一个吸引块，如定理3.4所证明。
• IFS的链递归点集$\mathcal{R}$等于所有吸引子-排斥子对的交集：$\mathcal{R} = \bigcap_{A \in \mathcal{U}} (A \cup A^*)$，如定理5.5所确立。
• 对于可逆IFS，$\mathcal{F}$的每个Conley吸引子$A$都对应于$\mathcal{F}^*$的一个不相交Conley吸引子$A^*$，形成一对对偶。
• 在Möbius或仿射IFS中，严格吸引子的存在意味着映射必须是压缩的，表明非压缩情形下无法产生严格吸引子。
• 构造了一个在$\mathbb{R}$上的非压缩IFS，其具有无穷多个Conley吸引子，表明此类系统可能具有丰富的吸引子结构。
• 在$\mathbb{RP}^2$上的射影IFS被证明具有一个Conley吸引子（一条直线），但该吸引子并非严格吸引子，说明在非压缩情形下，Conley吸引子概念严格弱于严格吸引子概念。