[论文解读] The Conley-Zehnder index for a path of symplectic matrices

Jean Gutt|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文为辛矩阵路径的Conley-Zehnder指标提供了一个自包含的、初等的介绍，通过将路径映射到圆周的映射的次数来定义该指标（适用于起始于单位矩阵且终点矩阵无特征值1的可接受路径）。文章建立了若干关键性质，如同伦不变性、可加性以及符号性质，并证明这些性质——连同环路性质与零性质——唯一刻画了该指标。此外，文章通过拉格朗日子空间建立了Conley-Zehnder指标与Robbin-Salamon指标之间的联系，澄清了二者之间的区别，并表明在辛剪切（symplectic shears）上二者一致。

ABSTRACT

We give here a self contained and elementary introduction to the Conley-Zehnder index for a path of symplectic matrices. We start from the definition of the index as the degree of a map into the circle for a path starting at the identity and ending at a matrix for which 1 is not an eigenvalue. We prove some properties which characterize this index using normal forms for symplectic matrices obtained from geometrical considerations. We explore the relations to Robbin-Salamon index for paths of Lagrangians. We give an axiomatic characterization of the generalization of the Conley-Zehnder index for any continuous path of symplectic matrices defined by Robbin and Salamon.

研究动机与目标

• 为辛矩阵路径的Conley-Zehnder指标提供一个自包含的、初等的阐述。
• 通过同伦性、环路性和符号性等性质，公理化地刻画Conley-Zehnder指标。
• 澄清拉格朗日子路径下Conley-Zehnder指标与Robbin-Salamon指标之间的关系。
• 利用几何方法建立辛矩阵的规范型，以用于指标的刻画。
• 证明Robbin-Salamon指标与Conley-Zehnder指标在辛剪切上一致，但一般情况下不同。

提出的方法

• 将Conley-Zehnder指标定义为从路径到圆周的映射的次数，适用于起点为单位矩阵且终点矩阵不含特征值1的路径。
• 利用辛群中半单矩阵的稠密性来验证定义的合理性，并通过几何考虑构造规范型。
• 证明若干关键性质：自然性、同伦不变性、零性质、乘积性质、环路性质、符号性质、行列式性质以及逆性质。
• 通过在乘积辛空间 $\mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n}$ 上考虑矩阵的图（graph），其中 $\overline{\Omega} = -\Omega_0 \oplus \Omega_0$，将Conley-Zehnder指标与Robbin-Salamon指标联系起来。
• 引入另一种Robbin-Salamon指标 $\mu_{\textrm{RS}2}$，其基于路径作用于固定拉格朗日子空间 $V = \{0\} \times \mathbb{R}^n$ 的像。
• 证明两个指标均满足同伦不变性、路径拼接下的可加性以及符号性质，但一般情况下不同，其中 $\mu_{\textrm{RS}2}$ 在满足 $\dim(\psi_t V \cap V)$ 恒定的路径上为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何与拓扑方法，以初等且自包含的方式定义并刻画Conley-Zehnder指标？
• RQ2 哪些性质能唯一刻画可接受路径下辛矩阵的Conley-Zehnder指标？
• RQ3 对于拉格朗日子路径，Conley-Zehnder指标与Robbin-Salamon指标之间的确切关系是什么？
• RQ4 在何种情况下，两个Robbin-Salamon指标 $\mu_{\textrm{RS}}$ 与 $\mu_{\textrm{RS}2}$ 一致，何时不同？
• RQ5 这些指标在共轭、路径拼接以及特定矩阵类型（如辛剪切）下的行为如何？

主要发现

• Conley-Zehnder指标在可接受路径上被同伦性、环路性和符号性性质完全刻画。
• 该指标满足逆性质：$\mu_{CZ}(\psi^{-1}) = -\mu_{CZ}(\psi)$，以及转置性质：$\mu_{CZ}(\psi^\tau) = -\mu_{CZ}(\psi)$。
• 行列式性质成立：$(-1)^{n - \mu_{CZ}(\psi)} = \operatorname{sign} \det(\operatorname{Id} - \psi(1))$。
• Robbin-Salamon指标 $\mu_{\textrm{RS}}$ 在端点固定的同伦下不变，且在路径拼接下可加。
• 指标 $\mu_{\textrm{RS}2}$ 在满足 $\dim(\psi_t V \cap V)$ 恒定的路径上为零，但一般情况下与 $\mu_{\textrm{RS}}$ 不同，如通过辛剪切的反例所示。
• 在辛剪切 $\psi_t = \begin{pmatrix} \mathrm{Id} & B(t) \\ 0 & \mathrm{Id} \end{pmatrix}$ 上，$\mu_{\textrm{RS}}$ 与 $\mu_{\textrm{RS}2}$ 均等于 $\frac{1}{2} \operatorname{Sign} B(0) - \frac{1}{2} \operatorname{Sign} B(1)$，从而证明二者在此情况下一致。