[论文解读] The connection between polarization calculus and four-dimensional rotations

Magnus Karlsson|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Optical Polarization and Ellipsometry被引用 7

一句话总结

本文提出了一种四维（4D）旋转形式化方法，通过将偏振变换表示为具有六个自由度的4D旋转，统一并扩展了琼斯（Jones）和斯托克斯-穆勒（Stokes-Mueller）偏振微分形式。结果表明，额外的两个自由度对应于量子对易关系所禁止的非物理变换，同时提供了一个几何框架，通过在4D旋转流形上的平行移动解释了潘查拉特南（Pancharatnam）相位和贝里（Berry）相位。

ABSTRACT

We review the well-known polarization optics matrix methods, i.e., Jones and Stokes-Mueller calculus, and show how they can be formulated in terms of four-dimensional (4d) rotations of the four independent electromagnetic field quadratures. Since 4d rotations is a richer description than the conventional Jones and Stokes-Mueller calculi, having six rather than four degrees of freedom (DOF), we propose an extension of those calculi to handle all six DOF. For the Stokes-Mueller analysis, this leads to a novel and potentially useful extension that accounts for the absolute phase of the optical field, and which can be valuable in the areas where the optical phase is of interest, e.g. interferometry or coherent communications. As examples of the usefulness we use the formalism to explain the Pancharatnam phase by parallel transport, and shows its connection with the Berry phase. In addition we show that the two extra DOF in the 4d description represents unphysical transformations, forbidden for propagating photons, since they will not obey the fundamental quantum mechanical boson commutation relations.

研究动机与目标

• 在具有更丰富几何结构的统一4D旋转形式化下，统一琼斯（Jones）和斯托克斯-穆勒（Stokes-Mueller）微分形式。
• 识别并分析4D旋转中超出传统偏振微分形式的额外两个自由度。
• 展示潘查拉特南（Pancharatnam）相位如何通过4D旋转框架中的平行移动产生。
• 通过几何相位理论，展示4D旋转形式化与贝里（Berry）相位之间的联系。
• 根据量子力学对易关系，明确指出六个4D旋转自由度中哪些对传播光子是物理上允许的。

提出的方法

• 使用涉及由右-等倾和左-等倾旋转矢量 hα 和 hβ 参数化的反对称矩阵 K 的4D演化方程，表述偏振演化。
• 通过生成元 sij 和旋转参数 ρk, λk 的对易关系，表达斯托克斯状态矩阵 E 的微分演化。
• 推导出斯托克斯状态矩阵的输入-输出关系为 E(z) = M(2z hα) E(0) M(2z hβ)T，其中 M 为3D旋转算符。
• 利用泡利矩阵和矩阵指数，建立琼斯状态矩阵与斯托克斯状态矩阵之间的数学桥梁。
• 使用列维-奇维塔张量和叉积恒等式，将动力学表示为4D旋转空间中的向量叉积。
• 证明4D旋转形式化自然地包含了绝对相位和几何相位（如潘查拉特南和贝里相位）。

实验结果

研究问题

• RQ1 琼斯（Jones）和斯托克斯-穆勒（Stokes-Mueller）微分形式如何通过具有六个自由度的统一4D旋转形式化统一起来？
• RQ2 4D偏振旋转中额外两个自由度的几何与物理意义是什么？
• RQ3 4D旋转形式化如何通过平行移动解释潘查拉特南（Pancharatnam）相位？
• RQ4 4D旋转形式化与量子几何相位中的贝里（Berry）相位之间有何联系？
• RQ5 六个4D旋转自由度中哪些对真实光子是物理上允许的？原因是什么？

主要发现

• 4D旋转形式化为偏振演化提供了具有六个自由度的统一几何描述，扩展了琼斯（Jones）和斯托克斯-穆勒（Stokes-Mueller）微分形式的传统四个自由度。
• 4D旋转形式化中额外的两个自由度对应于违反基本量子力学玻色子对易关系的非物理变换。
• 潘查拉特南（Pancharatnam）相位被几何地解释为4D旋转流形上平行移动引起的全息效应。
• 4D形式化揭示了潘查拉特南相位与贝里（Berry）相位之间通过旋转空间曲率的直接联系。
• 斯托克斯状态矩阵的输入-输出关系被推导为 E(z) = M(2z hα) E(0) M(2z hβ)T，明确显示出对右-等倾和左-等倾旋转的依赖。
• 该形式化通过 Ejkσk = E⁺σjE 建立了琼斯状态矩阵与斯托克斯状态矩阵之间的精确矩阵关系，该关系对归一化的琼斯矢量有效。