[论文解读] The Connection between the Number of Realizations for Degree Sequences and Majorization

Annabell Berger|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文建立了广义化序与给定度序列下图、二分图及有向图实现数量之间的新联系。证明了若一个度序列 $ S' $ 广义化序优于另一序列 $ S $，则 $ S $ 的实现数量严格多于 $ S' $，且在固定 $ n $ 和 $ m $ 的条件下，常数序列或 minconvex 序列使实现数量达到最大。

ABSTRACT

The \emph{graph realization problem} is to find for given nonnegative integers $a_1,\dots,a_n$ a simple graph (no loops or multiple edges) such that each vertex $v_i$ has degree $a_i.$ Given pairs of nonnegative integers $(a_1,b_1),\dots,(a_n,b_n),$ (i) the \emph{bipartite realization problem} ask whether there is a bipartite graph (no loops or multiple edges) such that vectors $(a_1,...,a_n)$ and $(b_1,...,b_n)$ correspond to the lists of degrees in the two partite sets, (ii) the \emph{digraph realization problem} is to find a digraph (no loops or multiple arcs) such that each vertex $v_i$ has indegree $a_i$ and outdegree $b_i.$\\ The classic literature provides characterizations for the existence of such realizations that are strongly related to the concept of majorization. Aigner and Triesch (1994) extended this approach to a more general result for graphs, leading to an efficient realization algorithm and a short and simple proof for the Erdős-Gallai Theorem. We extend this approach to the bipartite realization problem and the digraph realization problem.\\ Our main result is the connection between majorization and the number of realizations for a degree list in all three problems. We show: if degree list $S'$ majorizes $S$ in a certain sense, then $S$ possesses more realizations than $S'.$ We prove that constant lists possess the largest number of realizations for fixed $n$ and a fixed number of arcs $m$ when $n$ divides $m.$ So-called \emph{minconvex lists} for graphs and bipartite graphs or \emph{opposed minconvex lists} for digraphs maximize the number of realizations when $n$ does not divide $m$.

研究动机与目标

• 将广义化序框架从无向图扩展至二分图与有向图。
• 刻画度序列的实现数量与其广义化序之间的关系。
• 识别在固定 $ n $ 和 $ m $ 条件下使实现数量最大化的度序列。
• 为利用广义化序与转移路径计数实现提供统一的理论基础。

提出的方法

• 使用整数向量上的经典广义化序关系 $ \prec $ 比较度序列。
• 应用单位转移操作以变换序列并分析实现数量的变化。
• 利用已知的刻画定理（Erdős-Gallai、Gale-Ryser、Fulkerson）作为基础约束。
• 采用对称有向图表示，通过双射映射将有向图列表与图列表关联。
• 通过在转移路径上使用归纳法，证明广义化序下实现数量的单调性。
• 引入 minconvex 与对称 minconvex 列表的概念，作为实现数量最大化的极端情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图、二分图及有向图情形下，广义化序与度序列实现数量之间有何关系？
• RQ2 一个广义化序优于另一序列的序列是否总是具有更少的实现数量？
• RQ3 在固定 $ n $ 和 $ m $ 条件下，哪些度序列使实现数量最大化？
• RQ4 能否利用广义化序与转移路径对实现数量进行界定？
• RQ5 在实现数量方面，哪些结构性质定义了极端序列（如常数序列或 minconvex 列表）？

主要发现

• 若 $ a \prec a' $ 且 $ a \neq a' $，则 $ a $ 的图实现数量严格大于 $ a' $，即 $ N_3(a) > N_3(a') $。
• 当 $ n $ 整除 $ m $（即总边数）时，常数度序列使实现数量最大化。
• 当 $ n $ 不整除 $ m $ 时，图与二分图的 minconvex 列表，或有向图的对称 minconvex 列表，使实现数量最大化。
• 从被广义化序支配的序列到其支配者，沿任意转移路径，实现数量严格递减。
• 对于对称有向图列表，其实现数量与图实现数量之间存在双射关系，且保持基于广义化序的排序关系。
• 对于给定的 $ m $ 和 $ n $，minconvex 列表 $ \alpha $ 满足对任意其他非递增图列表 $ a $，均有 $ \alpha \prec a $，因此 $ N_3(\alpha) \geq N_3(a) $。