[论文解读] The Connes-Kasparov conjecture for almost connected groups

Jérôme Chabert, Siegfried Echterhoff+1 more|ArXiv.org|Oct 12, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通過證明對所有幾乎連通局部緊緻群，Baum-Connes 構造映射為同構，從而證明了這些群的 Connes-Kasparov 構想。作者利用 Mackey 機制、連續 C*-代數族以及 Baum-Connes 構想的不變性性質，將問題簡化至半單與再縮小情形，最終證明了約化群 C*-代數的 K-理論同構於其最大緊子群的移位 K-理論，並對平方可積表示產生影響。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group with cocompact connected component. We prove that the assembly map from the topological $\k$-theory of $G$ to the $\k$-theory of the reduced $C^*$-algebra of $G$ is an isomorphism.

研究动机与目标

• 為所有第二可數的幾乎連通群建立帶平凡係數的 Baum-Connes 構想。
• 透過將問題簡化至再縮小與半單情形，將 Connes-Kasparov 構想的適用範圍擴展至非線性或可乘群之外。
• 釐清幾乎連通群的上同調 K-理論與其最大緊子群的 K-理論之間的關係。
• 提供連通單模李群中存在平方可積因子表示的 K-理論判據。

提出的方法

• 利用 Mackey 機制方法，將幾乎連通群的 Baum-Connes 構想簡化至再縮小情形。
• 應用 Baum-Connes 構想在群擴張與交叉積下的不變性性質。
• 使用連續 C*-代數族，於基空間與群的弱拓撲條件下，將構想從纖維提升至整體空間。
• 利用 Lafforgue 對中心有限的半單群的研究成果，將構想推廣至所有無線性假設的再縮小群。
• 運用 Pukánszky 對連通李群的表示理論，分析最大緊子群及其在切空間上的作用結構。
• 透過 Mackey 障礙與 Spin^c 結構，應用扭曲 K-理論同構，將扭曲群 C*-代數的 K-理論與最大緊子群的 K-理論聯繫起來。

实验结果

研究问题

• RQ1 對所有幾乎連通局部緊緻群，Baum-Connes 構造映射是否仍為同構？
• RQ2 能否利用連續族與不變性技術，將 Connes-Kasparov 構想推廣至非線性再縮小群？
• RQ3 約化群 C*-代數的 K-理論與最大緊子群的 K-理論之間的精確關係為何？
• RQ4 在何種條件下，連通單模李群會存在平方可積因子表示？
• RQ5 在單位元處切空間上，自伴作用的定向如何影響扭曲群 C*-代數的 K-理論？

主要发现

• 對所有第二可數的幾乎連通群，Baum-Connes 構造映射為同構，從而在此情況下確認了 Connes-Kasparov 構想。
• 對任意幾乎連通群 G 及其最大緊子群 L，存在 K-理論同構：K*(C_r*(G,ω)) ≅ K_{*+n}(C*(L, ω·μ_L))，其中 n = dim(G/L)。
• 若 L 對 T_eL 的自伴作用保持定向，則 K_*(C_r*(G,ω)) 在偶數度數上同構於至多可數個生成元的自由阿貝爾群，而在奇數度數上為平凡。
• 當扭曲係數 ω 為平凡時，K*(C_r*(G)) ≅ K_{*+n}(C*(L, μ_L))，且 μ_L 為平凡當且僅當 G/L 允許 G-不變的 Spin^c-結構。
• 所有連通單模李群的平方可積因子表示均為 I 型，且當 dim(G/L) 為奇數時，此類表示不存在。
• 當 dim(G/L) 為奇數時，約化扭曲群 C*-代數 C_r*(G,ω) 的 K-理論在奇數度數上為平凡，而在偶數度數上為自由阿貝爾群。