[论文解读] The conservation of the Hamiltonian structures in Whitham's method of averaging

A. Ya. Maltsev|ArXiv.org|Nov 28, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用 16

一句话总结

该论文通过在m相解上进行平均，严格证明了Whitham平均法中非线性演化系统局部哈密顿结构的守恒性，即通过建立Dubrovin-Novikov泊松括号的雅可比恒等式。通过在函数泛函的子流形上应用Dirac的约束程序，证明了所得括号在局部守恒律选择下保持不变，从而确保周期性或准周期性解的慢调制极限中哈密顿结构得以保持。

ABSTRACT

The work is devoted to the proof of the conservation of local field-theoretical Hamiltonian structures in Whitham's method of averaging. The consideration is based on the procedure of averaging of local Poisson bracket, proposed by B.A.Dubrovin and S.P.Novikov. Using the Dirac procedure of restriction of the Poisson bracket on the submanifold in the functional space, it is shown in the generic case that the Poisson bracket, constructed by method of Dubrovin and Novikov, satisfies the Jacobi identity. Besides that, the invariance of this bracket with respect to the choice of the set of local conservation laws, used in this procedure, is proved.

研究动机与目标

• 建立非线性偏微分方程Whitham平均法中局部场论哈密顿结构的守恒性。
• 证明通过m相解平均构造的Dubrovin-Novikov泊松括号满足雅可比恒等式。
• 表明在平均过程中使用的局部守恒律集合选择下，所得哈密顿结构保持不变。
• 为从可积偏微分方程导出的Whitham系统提供严格的哈密顿形式基础。

提出的方法

• 将Dubrovin-Novikov程序应用于对流体类型局部泊松括号在m相解上的平均。
• 使用Dirac的约束程序将原始泊松括号限制到缓慢变化的调制解的子流形上。
• 对以相位偏移和附加参数为参数的m相解的存在性施加条件，确保存在N=2m+g个独立守恒律。
• 以调制参数U^ν表示平均括号，并在一般情况下证明其满足雅可比恒等式。
• 通过约束流形上的坐标变换，证明所得括号在不同守恒律集合选择下的不变性。
• 分析守恒律生成流下密度的演化，表明其与Whitham方程一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过Dubrovin-Novikov平均程序构造的泊松括号是否满足雅可比恒等式？
• RQ2 Whitham方法中所得哈密顿结构是否独立于平均过程中使用的局部守恒律集合的选择？
• RQ3 Dirac程序能否用于证明m相解背景下平均括号的雅可比恒等式？
• RQ4 由平均守恒律生成的流与原系统动力学之间有何关系？
• RQ5 在周期性或准周期性解的慢调制下，哈密顿结构在何种条件下得以保持？

主要发现

• 通过Dirac的约束程序，在一般情况下严格证明了Dubrovin-Novikov方法构造的平均泊松括号满足雅可比恒等式。
• 通过约束流形上坐标变换的不变性，表明所得哈密顿结构在平均过程中所选守恒律集合选择下保持不变。
• 平均括号保持了原系统的哈密顿性质，确保m相解的Whitham方程相对于所构造括号是哈密顿的。
• 由平均守恒律生成的流恰好对应Whitham方程，哈密顿量生成了调制参数的慢演化。
• 该程序对所有形式为(8)的泛函均一致成立，这些泛函与哈密顿量及彼此对易，包括动量和零化算子，后者生成平凡或平动流。
• 该构造在存在以相位偏移和附加常数为参数的完整m相解族、且具有N=2m+g个独立守恒律的假设下成立。