[论文解读] The Consistency of a Bounded, Self-Adjoint Time Operator Canonically Conjugate to a Hamiltonian with Non-empty Point Spectrum

Eric A. Galapon|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用 2

一句话总结

本文通过严格证明一个有界自伴时间算符与具有非空点谱（如无界、半有界或可数无限谱）的哈密顿量共轭的相容性，挑战了泡利定理。其核心在于表明，酉演化 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 仅对哈密顿量本征值差值对应的 $ \beta $ 值有定义，从而避免了泡利原始假设中的矛盾。

ABSTRACT

Pauli's well known theorem (W. Pauli, Hanbuch der Physik vol. 5/1, ed. S. Flugge, (1926) p.60) asserts that the existence of a self-adjoint time operator canonically conjugate to a given Hamiltonian implies that the time operator and the Hamitlonian posses completely continuous spectra spanning the entire real line. Thus the conclusion that there exists no self-adjoint time operator conjugate to a Hamiltonian with a spectrum which is a proper subspace of the real line. But we challenge this conclusion. We show rigourously the consitency of assuming a bounded, self-adjoint time operator conjugate to a Hamiltonian with an unbounded, or semibounded, or finitely countable point spectrum. Pauli implicitly assumed unconditionally that the domain of the Hamiltonian is invariant under the action of $U_\\beta=\\exp(-i\\beta T)$, where $T$ is the time operator, for arbitrary real number $\\betaA$. But we show that the $\\beta$'s are at most the differences of the eigenvalues of the Hamiltonian. And this happens, under some other conditions, when the Hamiltonian has a non-empty point spectrum extending from negative to positive infinity. For a Hamiltonian with a simibounded or finitely countable point spectrum, we show that no $U_\\beta$. We demonstrate our claim by giving an explicit example.

研究动机与目标

• 挑战泡利定理的广泛接受结论，即对于非满实谱的哈密顿量，不存在自伴时间算符。
• 解决泡利定理与要求时间算符与具有点谱的哈密顿量共轭的物理模型之间的明显矛盾。
• 证明当哈密顿量具有非空点谱时，泡利证明中所依赖的定义域不变性假设不成立。
• 构造一个显式例子，表明有界自伴时间算符与具有离散、无界或半有界谱的哈密顿量之间的一致性。
• 明确酉群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 的有效范围，表明其仅对对应于哈密顿量本征值差的 $ \beta $ 值有定义。

提出的方法

• 在有界自伴时间算符的严格谱论框架下，重新表达正则对易关系 $ [T, H] = i\hbar $。
• 分析酉群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $，并证明其仅对哈密顿量本征值差对应的 $ \beta $ 值有定义。
• 利用谱论证明，对于任意 $ \beta $，$ U\_\beta $ 并不保持哈密顿量的定义域，从而反驳泡利的隐含假设。
• 构造一个具有非空点谱的哈密顿量与一个有界自伴时间算符的显式例子，使其满足正则对易关系。
• 证明对于具有半有界或有限可数点谱的哈密顿量，除了有限组 $ \beta $ 值外，不存在非平凡的 $ U_\beta $。
• 应用函数演算与谱测度，严格定义 $ U_\beta $ 在希尔伯特空间上的作用，并验证其与对易关系的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界自伴时间算符能否与具有非空点谱的哈密顿量一致共轭？
• RQ2 在何种条件下，酉群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 对时间算符 $ T $ 仍保持良好定义？
• RQ3 当哈密顿量具有离散谱时，泡利定理是否失效？若然，原因为何？
• RQ4 使 $ U_\beta $ 在哈密顿量定义域上作为对称性作用的 $ \beta $ 值的最大集合为何？
• RQ5 能否构造一个显式模型，使得有界时间算符与具有无界或半有界谱的哈密顿量满足正则对易关系？

主要发现

• 有界自伴时间算符可以与具有非空点谱（包括无界或半有界谱）的哈密顿量一致共轭。
• 酉群 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 仅对哈密顿量本征值差对应的 $ \beta $ 值有定义，而非对所有实数 $ \beta $。
• 泡利原始结论依赖于一个无效假设：即 $ U_\beta $ 对所有实数 $ \beta $ 保持哈密顿量定义域不变，而当谱为离散时该假设不成立。
• 对于具有有限可数或半有界点谱的哈密顿量，除了有限组 $ \beta $ 值外，不存在非平凡的 $ U_\beta $。
• 构造了一个显式例子，其中正则对易关系 $ [T, H] = i\hbar $ 成立，且 $ T $ 为有界自伴算符。
• 时间算符的谱测度支撑于有界区间，与 $ T $ 的有界性一致，而哈密顿量的谱仍可延伸至无穷。