[论文解读] The constant objective value property for combinatorial optimization problems

Ante Ćustić, Bettina Klinz|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Optimization and Packing Problems参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文研究组合优化问题中目标函数值恒定性质（COVP）的特征，即所有可行解均产生相同的目标值。研究发现，轴向和截面d维分配问题具有COVP当且仅当其代价数组为可求和分解；该结论不适用于一般d维分配问题，且对最小生成树、最短路径和最小权最大基数匹配问题也给出了类似刻画。

ABSTRACT

Given a combinatorial optimization problem, we aim at characterizing the set of all instances for which every feasible solution has the same objective value. Our central result deals with multi-dimensional assignment problems. We show that for the axial and for the planar $d$-dimensional assignment problem instances with constant objective value property are characterized by sum-decomposable arrays. We provide a counterexample to show that the result does not carry over to general $d$-dimensional assignment problems. Our result for the axial $d$-dimensional assignment problem can be shown to carry over to the axial $d$-dimensional transportation problem. Moreover, we obtain characterizations when the constant objective value property holds for the minimum spanning tree problem, the shortest path problem and the minimum weight maximum cardinality matching problem.

研究动机与目标

• 刻画所有可行解均产生相同目标值的组合优化实例集合（即COVP）。
• 研究COVP与可接受变换之间的联系，尤其在求和目标函数背景下的表现。
• 将已知关于线性分配问题COVP的结果推广至高维分配与运输问题。
• 确定可求和分解性是否能完全刻画所有多维分配问题中的COVP实例。
• 为最小生成树、最短路径和最小权最大基数匹配等经典问题提供COVP刻画。

提出的方法

• 将COVP定义为：对于给定的代价向量，所有可行解的目标值均相同。
• 利用COVP与可接受变换之间的对应关系，将问题重新表述为代价向量分解问题。
• 引入可求和分解数组作为求和矩阵在高维空间的推广，其中代价元素可表示为d维向量之和。
• 证明轴向和截面d维分配问题具有COVP当且仅当其代价数组为可求和分解。
• 构造反例以表明即使代价数组可求和分解，一般d维分配问题也不一定具有COVP。
• 利用d维分配问题的结果，推导出轴向d维运输问题的COVP刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些d维分配问题类别中，COVP成立当且仅当代价数组为可求和分解？
• RQ2 可求和分解数组对COVP的刻画是否适用于所有d维分配问题，还是存在例外？
• RQ3 在有向图中，边权满足何种条件可保证从源点到汇点的所有路径具有相同的总权重（即最短路径问题的COVP）？
• RQ4 在偶数阶完全图中，满足何种条件可保证每个完美匹配的总权重相同（即匹配问题的COVP）？
• RQ5 最小生成树问题中的COVP能否通过边权矩阵的结构性质来刻画？

主要发现

• 轴向和截面d维分配问题具有COVP当且仅当其代价数组为可求和分解。
• 通过反例表明，即使代价数组可求和分解，一般d维分配问题也不一定具有COVP。
• 轴向d维运输问题的COVP由与轴向d维分配问题相同的可求和分解数组条件刻画。
• 在有向图的最短路径问题中，COVP成立当且仅当边权可表示为顶点势的差值：w(i,j) = a_j - a_i。
• 在无向最短路径问题中，COVP成立当且仅当边权可表示为顶点势的差值。
• 在完全图上的最小权最大基数匹配问题中：若n为奇数，则所有边权必须相等；若n为偶数，则边权必须可表示为w(i,j) = a_i + a_j，其中A为某个实向量。