[论文解读] The constant of recognizability is computable for primitive morphisms

Fabien Durand, Julien Leroy|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 7

一句话总结

该论文为原始态态射的可识别常数建立了可计算的上界，证明了对于任意非周期性的原始态射σ，其常数由仅依赖于字母表大小|A|和最大像长度|σ|的函数所界定。该上界通过线性递推性质、返回词以及关联到关联矩阵的矩阵理论论证推导得出，最终得到一个以|σ|和|A|表示的显式可计算表达式。

ABSTRACT

Mossé proved that primitive morphisms are recognizable. In this paper we give a computable upper bound for the constant of recognizability of such a morphism. This bound can be expressed only using the cardinality of the alphabet and the length of the longest image under the morphism of a letter.

研究动机与目标

• 为原始态射中的可识别常数建立可计算的上界。
• 解决原始态射的可识别常数是否可有效计算的开放问题。
• 提供一个仅依赖于字母表大小和态射最大像长度的统一上界。
• 通过显式化并使其可计算，扩展Mossé的可识别性结果。

提出的方法

• 利用Mossé定理（非周期性原始态射是可识别的），本文推导出可识别常数的可计算上界。
• 通过线性递推概念，本文界定了固定点语言中任意因子的最长返回词长度。
• 应用态射的关联矩阵，本文利用原始矩阵的性质，界定了所有因子出现所需的步数。
• 通过图像长度增长和不同因子数量的递归估计构建上界。
• 关键组成部分包括最大图像长度|σ|、字母表大小d = |A|，以及线性递推常数Kσ。
• 最终上界通过涉及Kσ、因子数量和返回词长度的一系列不等式链推导得出，形成单一显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始态射的可识别常数是否可以有效计算？
• RQ2 在原始态射内在参数下，可识别常数的最紧可能上界是什么？
• RQ3 原始态射的可识别性是否具有不依赖于固定点的统一、可计算上界？
• RQ4 参数|σ|和|A|如何影响可识别常数的大小？
• RQ5 原始态射固定点的线性递推结构能否用于推导可识别性的有效上界？

主要发现

• 对于任意非周期性原始态射σ，其可识别常数至多为2|σ|^{6d² + 6d|σ|^{28d²}} + |σ|^d，其中d = |A|。
• 该上界仅依赖于字母表大小d和最大图像长度|σ|，因此可从态射定义完全计算得出。
• 固定点的线性递推常数Kσ的上界为|σ|^{4d²}，该界用于控制返回词长度。
• 长度不超过R的不重复因子数量被界为KσR，该界用于估计可能的因子配置数量。
• 最长返回词长度R的上界为2|σ|^{6d²}，该界在最终上界中起关键作用。
• 最终上界通过组合涉及Kσ、R和因子数量的多个不等式推导得出，形成单一可计算表达式。