[论文解读] The construction and weight distributions of all projective binary linear codes

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过基于迹的构造，建立了所有投影二元线性码的权分布与布尔函数的沃尔什谱之间的直接对应关系。它表明，由布尔函数的支撑集导出的投影二元码的权分布由特征和分析决定，并提出了将著名码与相应布尔函数关联的新研究方向。

ABSTRACT

Boolean functions can be used to construct binary linear codes in many ways, and vice versa. The objective of this short article is to point out a connection between the weight distributions of all projective binary linear codes and the Walsh spectra of all Boolean functions. New research problems are also proposed.

研究动机与目标

• 建立所有投影二元线性码的权分布与布尔函数的沃尔什谱之间的基本联系。
• 通过其关联的线性码，对特殊布尔函数（如弯函数）提供编码理论表征。
• 提出将经典二元线性码（例如戈莱、汉明、BCH、里德-穆勒）与其对应布尔函数关联的新研究问题。
• 探索从已知少权线性码导出的布尔函数的结构与谱特性。

提出的方法

• 使用从 $\mathrm{GF}(2^m)$ 到 $\mathrm{GF}(2)$ 的迹函数，从子集 $D \subseteq \mathrm{GF}(2^m)$ 构造二元线性码，定义码 $\mathcal{C}_D = \{ (\mathrm{Tr}(xd_1), \dots, \mathrm{Tr}(xd_n)) \mid x \in \mathrm{GF}(2^m) \}$。
• 将每个码字 $\mathbf{c}_x$ 的汉明权表示为 $\mathrm{wt}(\mathbf{c}_x) = n - N_x(0)$，其中 $N_x(0)$ 表示 $\mathrm{Tr}(xd_i)$ 的零点个数。
• 应用涉及典范加法特征 $\chi_1$ 的特征和恒等式来计算 $N_x(0)$，从而导出公式 $\mathrm{wt}(\mathbf{c}_x) = \frac{(q-1)n - \sum_{y \in \mathrm{GF}(q)^*} \chi_1(yxD)}{q}$。
• 利用沃尔什变换 $\hat{f}(w) = \sum_{x \in \mathrm{GF}(2^m)} (-1)^{f(x) + \mathrm{Tr}(wx)}$，将布尔函数 $f$ 的谱与 $\mathcal{C}_{D_f}$ 的权分布联系起来，其中 $D_f$ 是 $f$ 的支撑集。
• 利用定义集与布尔函数之间的对偶性，表明每个投影码对应多个具有相同沃尔什谱的布尔函数。
• 在 $m = 2h$ 的特殊情况下应用该构造，将码表示为 $\mathcal{C}_E = \{ (\mathrm{Tr}_{2^h/2}(e_1x_1 + e_2x_2)) \mid (x_1,x_2) \in \mathrm{GF}(2^h)^2 \}$，其中 $E$ 是系数对的集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用其关联布尔函数的沃尔什谱表征投影二元线性码的权分布？
• RQ2 二元戈莱码 $[23,12,7]$ 及其扩展版本对应的布尔函数是什么？
• RQ3 二元麦克唐纳码 $[2^k - 2, k, 2^{k-1} - 1]$ 对应的布尔函数是什么？
• RQ4 从二元里德-穆勒码 $\mathcal{R}_2(\ell,m)$（其中 $1 \leq \ell < m$）导出的布尔函数如何与码参数相关联？
• RQ5 与二元汉明码 $[2^m - 1, 2^m - 1 - m, 3]$ 关联的布尔函数的结构是怎样的？

主要发现

• 投影二元线性码 $\mathcal{C}_D$ 的权分布完全由特征和 $\sum_{y \in \mathrm{GF}(2)^*} \chi_1(yxD)$ 的值分布决定，该关系将码权与支撑集为 $D$ 的布尔函数 $f$ 的沃尔什谱联系起来。
• 布尔函数 $f$ 是弯函数当且仅当码 $\mathcal{C}_{D_f}$ 的权分布如参考文献 [3] 中表 II 所列，从而建立了弯函数的直接编码理论表征。
• 每个维度为 $k$ 的投影二元线性码对应 $2^{2^k - k}$ 个不同的布尔函数，且这些函数具有相同的沃尔什谱，这是由于 $\mathrm{GF}(2^k)$ 中存在多个对偶基。
• 在特殊情形 $m = 2h$ 下，码 $\mathcal{C}_E$ 由集合 $E \subseteq \mathrm{GF}(2^h)^2$ 构造，其权分布由 $E$ 的特征函数的沃尔什变换决定。
• 该构造在布尔函数 $f: \mathrm{GF}(2^m) \to \mathrm{GF}(2)$ 与定义集 $D_f \subseteq \mathrm{GF}(2^m)$ 之间建立了双射关系，使得布尔函数的谱特性可直接传递到码的权分布。
• 本文指出，许多已知的两权与三权二元码（例如来自 [1]）对应于高度结构化的布尔函数，暗示其具有丰富的代数与谱特性，值得进一步研究。