[论文解读] The continuity method on Fano fibrations

Yashan Zhang, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了法诺纤维丛上的连续方法，证明当凯勒度量在复蒙日-安培流下演化时，其弱收敛于基流形上一个奇异凯勒当前的拉回。当基流形光滑且纤维丛无奇异纤维时，收敛发生在格罗莫夫-豪斯多夫拓扑下，从而证实了有限时间体积坍缩情形下解析极小模型程序中的一个关键猜想。

ABSTRACT

We study finite-time collapsing limits of the continuity method. When the continuity method starting from a rational initial Kähler metric on a projective manifold encounters a finite-time volume collapsing, this projective manifold admits a Fano fibration over a lower dimensional base. In this case, we prove the continuity method converges to a singular Kähler metric on the base in the weak sense; moreover, if the base is smooth and the fibration has no singular fibers, then the convergence takes place in Gromov-Hausdorff topology.

研究动机与目标

• 研究在最大存在时间有限时，投影流形上连续方法的行为，导致体积坍缩。
• 分析当流形在低维基上具有法诺纤维丛结构时，凯勒度量流的极限。
• 在有限时间体积坍缩情形下，确认解析极小模型程序中关于格罗莫夫-豪斯多夫拓扑收敛性的猜想。
• 建立基流形上一个刻画度量流几何退化的典范极限当前的存在性。

提出的方法

• 使用由复蒙日-安培方程定义的连续方法：$\omega(t) = \omega_0 - t\text{Ric}(\omega(t))$，其中初始凯勒度量为$\omega_0$。
• 分析最大存在时间$T=1$，并证明有限时间坍缩意味着存在一个法诺纤维丛$f: X \to Y$，满足$1 \leq \dim Y \leq n-1$。
• 在基$Y$上构造一个极限正$(1,1)$-当前$\omega_Y$，其在$Y \setminus S$上为凯勒度量，其中$S$为奇异点集与临界值的集合。
• 证明当$t \to 1^-$时，作为$X$上的当前，有弱收敛$\omega(t) \to f^*\omega_Y$，且在$Y \setminus S$的紧子集上局部具有$C^0$-收敛性。
• 应用复蒙日-安培理论中的估计，包括$C^0$-界和迹估计，以控制纤维上度量的收敛性。
• 通过重新参数化并比较一个模型度量$\hat{\omega}(t)$，建立在基流形正则部分的紧子集上，$\omega(t)$对$f^*\omega_Y$的$C^0$-收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限时间坍缩情形下，法诺纤维丛上的连续方法是否收敛于基流形上一个典范极限当前？
• RQ2 凯勒度量$\omega(t)$对$f^*\omega_Y$的收敛性是否可在基流形正则部分的紧子集上以$C^0$-拓扑建立？
• RQ3 在何种条件下，$X$配备度量$\omega(t)$对基$Y$的格罗莫夫-豪斯多夫收敛性成立？
• RQ4 极限当前$\omega_Y$如何从纤维丛结构与初始度量$\omega_0$中典范构造？
• RQ5 在基流形正则部分的紧子集上，$\omega(t)$对$f^*\omega_Y$的收敛是否一致？

主要发现

• 连续方法弱收敛于基$Y$上一个正$(1,1)$-当前$\omega_Y$的拉回，其中$\omega_Y$在$Y \setminus S$上为凯勒度量，$S$为$f$的奇异点集与临界值的集合。
• 对任意紧子集$K \subset \subset Y \setminus S$，当$t \to 1^-$时，收敛$\omega(t) \to f^*\omega_Y$在$C^0(K, \omega_0)$-拓扑下成立。
• 当基$Y$光滑且$f: X \to Y$为全纯子mersion（即$S = \emptyset$）时，收敛发生在格罗莫夫-豪斯多夫拓扑下。
• 极限当前$\omega_Y$从纤维丛与初始度量$\omega_0$中典范构造，且不依赖于$\omega_0$的选择。
• 收敛性通过函数$G_{10}(t)$量化，满足对所有$t \geq T$，有$\|\omega(t) - f^*\omega_Y\|_{C^0(f^{-1}(K), \omega_0)} \leq G_{10}(t)$，且当$t \to \infty$时$G_{10}(t) \to 0$。
• 证明依赖于与模型度量$\hat{\omega}(t)$的比较，以及涉及迹与体积比的$C^0$-估计，表明$\|\omega(t) - \hat{\omega}(t)\|_{C^0} \leq G_{13}(t)$，且当$t \to \infty$时$G_{13}(t) \to 0$。