[论文解读] The continuous Anderson hamiltonian in dimension two

Romain Allez, Khalil Chouk|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用 56

一句话总结

该论文在二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上严格构建了连续安德森哈密顿量 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$，其中 $\xi$ 为奇异高斯白噪声势。通过拟控分布方法，证明了 $\mathscr{H}$ 是一个定义良好的无界自伴算子，具有离散的实谱，并表明对重整化的光滑逼近，其预解式收敛。此外，该研究推导出在大环面 $\mathbb{T}_L^2$ 上基态本征值的指数尾部界和 $\log L$ 阶量级。其主要贡献是通过拟控微积分建立了 $d=2$ 维下奇异连续安德森哈密顿量的谱理论。

ABSTRACT

We define the Anderson hamiltonian on the two dimensional torus $\mathbb R^2/\mathbb Z^2$. This operator is formally defined as $\mathscr H:= -Δ+ ξ$ where $Δ$ is the Laplacian operator and where $ξ$ belongs to a general class of singular potential which includes the Gaussian white noise distribution. We use the notion of paracontrolled distribution as introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski in [14]. We are able to define the Schrödinger operator $\mathscr H$ as an unbounded self-adjoint operator on $L^2(\mathbb T^2)$ and we prove that its real spectrum is discrete with no accumulation points for a general class of singular potential $ξ$. We also establish that the spectrum is a continuous function of a sort of enhancement $Ξ(ξ)$ of the potential $ξ$. As an application, we prove that a correctly renormalized smooth approximations $\mathscr H_\varepsilon:= -Δ+ ξ_\varepsilon+c_\varepsilon$ (where $ξ_\varepsilon$ is a smooth mollification of the Gaussian white noise $ξ$ and $c_\varepsilon$ an explicit diverging renormalization constant) converge in the sense of the resolvent towards the singular operator $\mathscr H$. In the case of a Gaussian white noise $ξ$, we obtain exponential tail bounds for the minimal eigenvalue (sometimes called ground state) of the operator $\mathscr H$ as well as its order of magnitude $\log L$ when the operator is considered on a large box $\mathbb T_L:= \mathbb R^2/(L\mathbb Z)^2$ with $L o \infty$.

研究动机与目标

• 在二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上定义安德森哈密顿量 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$，其中 $\xi$ 为奇异高斯白噪声势。
• 证明 $\mathscr{H}$ 是 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 上定义良好的无界自伴算子，且具有离散实谱。
• 证明谱是势 $\xi$ 的重整化增强 $\Xi(\xi)$ 的连续函数。
• 证明重整化光滑逼近 $\mathscr{H}_\varepsilon = -\Delta + \xi_\varepsilon + c_\varepsilon$ 的预解式收敛于奇异算子 $\mathscr{H}$。

提出的方法

• 使用拟控分布处理 $d=2$ 维下白噪声势 $\xi$ 的奇异性质，此时经典方法失效。
• 在拟控分布空间上定义薛定谔算子 $\mathscr{H}$，确保尽管 $\xi$ 不规则，仍保持适定性。
• 应用博尼抛积分解和贝索夫空间估计，控制由势引起的非线性相互作用。
• 引入重整化程序，通过发散常数 $c_\varepsilon$ 抵消 $\xi$ 的光滑逼近 $\xi_\varepsilon$ 的发散，实现收敛。
• 利用雷里希-孔德拉恰若夫紧嵌入定理，建立谱的离散性及在索伯列夫空间中的收敛性。
• 使用换位子估计和拟控微积分，控制乘积 $X \circ \sigma(D)X$ 及其在 $\mathscr{C}^{2\alpha+2}$ 中收敛于 $-V^2$ 的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\xi$ 为高斯白噪声分布时，安德森哈密顿量 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$ 是否能在 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 上严格定义为无界自伴算子？
• RQ2 尽管 $\xi$ 在二维中具有奇异性，$\mathscr{H}$ 的谱是否仍保持离散？
• RQ3 当 $\varepsilon \to 0$ 时，重整化光滑逼近 $\mathscr{H}_\varepsilon$ 的预解式是否收敛于 $\mathscr{H}$ 的预解式？
• RQ4 当 $L \to \infty$ 时，大环面 $\mathbb{T}_L^2$ 上安德森哈密顿量的最小本征值（基态）的渐近行为如何？

主要发现

• 安德森哈密顿量 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$ 对于包括高斯白噪声在内的广义奇异势 $\xi$，在 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 上可严格定义为无界自伴算子。
• $\mathscr{H}$ 的谱是离散的，且无聚点，即使 $\xi$ 为分布且 $\Delta$ 无界。
• $\mathscr{H}$ 的谱连续依赖于势 $\xi$ 的重整化增强 $\Xi(\xi)$，确保在小扰动下具有稳定性。
• 重整化光滑逼近 $\mathscr{H}_\varepsilon = -\Delta + \xi_\varepsilon + c_\varepsilon$ 的预解式在 $\varepsilon \to 0$ 时收敛于 $\mathscr{H}$ 的预解式，且 $c_\varepsilon$ 明确定义。
• 在高斯白噪声情形下，$\mathbb{T}_L^2$ 上的最小本征值 $\lambda_1(L)$ 满足当 $L \to \infty$ 时 $\lambda_1(L) \sim \log L$，且其波动具有指数尾部界。
• 拟控分布空间使得 $\mathscr{H}$ 的构造及谱离散性的证明成为可能，这在 $d=2$ 维中因 $\xi$ 的粗糙性而使经典方法失效。