[论文解读] The continuous nonstationary Gabor transform on LCA groups with applications to representations of the affine Weyl-Heisenberg group

Michael Speckbacher, Péter Balázs|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文将再生对的概念推广为局部紧阿贝尔（LCA）群上连续框架的一般化形式，从而为连续非平稳Gabor变换提供统一的框架。文章建立了此类系统构成连续框架或再生对的条件，指出框架/分辨率算子为傅里叶乘子，并给出反例表明并非所有系统都存在使分辨率算子为恒等算子的对偶系统——具体而言，$L^2(\mathbb{R})$ 中仿射Weyl-Heisenberg群的酉轨道无法支持此类对偶对。

ABSTRACT

In this paper we introduce and investigate the concept of reproducing pairs which generalizes continuous frames. We will introduce a concept that represents a unifying way to look at certain continuous frames (resp. reproducing pairs) on LCA groups, which can be described as continuous nonstationary Gabor systems and investigate conditions for these systems to form a continuous frame (resp. reproducing pair). As a byproduct we identify the structure of the frame operator (resp. resolution operator). Moreover, we ask the question, whether there always exist mutually dual systems with the same structure such that the resolution operator is given by the identity, i.e. given $A:X ightarrow B(\mathcal{H})$, if there exist $ψ,φ\in\mathcal{H}$, s.t. \begin{equation*} f=\int_X \langle f,A(x)ψ angle A(x)φdμ(x),\ \ \forall f\in \mathcal{H} \end{equation*} and show that the answer is not affirmative. As a counterexample we use a system generated by a unitary action of a subset of the affine Weyl-Heisenberg group in $L^2(\mathbb{R})$.

研究动机与目标

• 将再生对的概念推广至LCA群上的系统，以一般化连续框架。
• 研究连续非平稳Gabor系统在何种条件下构成连续框架或再生对。
• 确定对于给定系统结构，是否存在对偶系统使得分辨率算子为恒等算子。
• 以傅里叶乘子形式分析框架/分辨率算子的结构。
• 提供反例，证明并非所有系统都存在使分辨率算子为恒等算子的对偶系统。

提出的方法

• 引入并形式化再生对的概念，将其作为连续框架的推广，用一对分析与合成映射替代单一框架映射。
• 利用LCA群上的傅里叶分析，推导出框架/分辨率算子为傅里叶乘子的充分条件。
• 通过傅里叶变换将连续非平稳Gabor变换重写为卷积形式，从而应用对偶性与乘子理论。
• 将框架算子 $C_{\Psi,\Phi}$ 定义为具有符号 $m_{\Psi,\Phi}(\xi)$ 的积分算子，该符号由生成函数的傅里叶变换导出。
• 基于 $L^2(\mathbb{R})$ 中仿射Weyl-Heisenberg群子集的酉作用构造具体例子，以检验是否存在具有恒等分辨率的对偶系统。
• 应用勒贝格微分定理与测度论论证，证明当分辨率符号必须恒为1时，不存在此类对偶系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个LCA群上的连续非平稳Gabor系统是否都能存在一个对偶系统，使得分辨率算子为恒等算子？
• RQ2 在给定LCA群上系统结构下，再生对存在的条件是什么？
• RQ3 连续非平稳Gabor系统的框架算子是否总能表示为傅里叶乘子？
• RQ4 能否选择分析与合成映射，使得分辨率算子可逆且具有特定形式，如 $\lambda I$？
• RQ5 再生对在结构上存在哪些限制，特别是与Bessel序列及框架界的关系？

主要发现

• 存在由仿射Weyl-Heisenberg群生成的 $L^2(\mathbb{R})$ 上的连续非平稳Gabor系统，其分辨率算子即使在存在对偶系统的情况下也无法为恒等算子。
• 对于再生对，分辨率算子 $C_{\Psi,\Phi}$ 被表征为符号为 $m_{\Psi,\Phi}(\xi)$ 的傅里叶乘子，该符号可由生成函数的傅里叶变换显式计算。
• 在反例系统中，符号 $m_{\Psi,\Phi}(\xi)$ 有界且连续，但不能恒为1，因为这将迫使 $\hat{\psi}(\xi)\hat{\varphi}(\xi)$ 几乎处处在 $[-1,1]$ 上为零，与要求的 $m_{\Psi,\Phi}(\xi) = 1$ 矛盾。
• 分析算子 $V_\Psi$ 的轨道可能将某个 $f \in L^2(\mathbb{R})$ 映射到 $L^2(\mathbb{R}^2, \mu)$ 之外的函数，表明 $V_\Psi f$ 并非总是平方可积。
• 再生对的任一组成成分均无需为Bessel序列，如存在一对 $\Psi$ 与 $\Phi$，其傅里叶符号无界，但其组合符号 $m_{\Psi,\Phi}$ 仍保持有界。
• 框架算子 $C_{\Psi,\Phi}$ 可逆当且仅当符号 $m_{\Psi,\Phi}(\xi)$ 几乎处处远离零，这是分辨率可逆的充要条件。