[论文解读] The continuum limit of a tensor network: a path integral representation

Christoph Brockt, Jutho Haegeman+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Quantum many-body systems参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种连续矩阵乘积态（cMPS）的路径积分形式，作为张量网络的连续极限，用对辅助自由度的连续路径积分取代离散张量收缩。它表明，当辅助系统的维度趋于无穷时，动态演化后的量子场态以及所有福克空间态均可表示为cMPS，从而确立了cMPS类在福克空间中的完备性。

ABSTRACT

We argue that the natural way to generalise a tensor network variational class to a continuous quantum system is to use the Feynman path integral to implement a continuous tensor contraction. This approach is illustrated for the case of a recently introduced class of quantum field states known as continuous matrix-product states (cMPS). As an example of the utility of the path-integral representation we argue that the state of a dynamically evolving quantum field admits a natural representation as a cMPS. An argument that all states in Fock space admit a cMPS representation when the number of variational parameters tends to infinity is also provided.

研究动机与目标

• 通过取连续极限，将离散张量网络变分类推广至连续量子系统。
• 建立一个物理上合理且数学上一致的连续矩阵乘积态（cMPS）路径积分表示。
• 证明当辅助系统维度趋于无穷时，cMPS类在福克空间中是完备的。
• 为连续张量网络的高维推广提供一个框架。
• 证明时间演化后的量子场态自然地可表示为cMPS。

提出的方法

• 使用费曼路径积分，将离散张量收缩替换为对辅助自由度的连续收缩。
• 将cMPS定义为对辅助场相干态的路径积分，其中物理场仅在辅助时间的末尾与之耦合。
• 构建一个包含自由辅助哈密顿量和在β = T处将物理场与辅助系统耦合的相互作用项的复合哈密顿量。
• 推导出一个包含辅助场动能项、自由哈密顿量以及在最终时间涉及物理场算符的耦合项的路径积分作用量。
• 利用相干态路径积分和单位分解，推导出cMPS表示作为对辅助场构型的泛函积分。
• 证明所得路径积分产生一个具有自由哈密顿量和局部相互作用的cMPS表示，可通过截断辅助振子实现高效模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将离散张量网络形式化扩展至连续量子系统？
• RQ2 张量网络的连续极限是否能自然地通过辅助自由度上的路径积分来描述？
• RQ3 当辅助系统维度趋于无穷时，cMPS类是否能对福克空间中的所有态提供完备表示？
• RQ4 动态演化后的量子场态是否能自然地表示为cMPS？
• RQ5 cMPS路径积分表示是否可从包含物理场和辅助场的复合系统的幺正演化中导出？

主要发现

• cMPS类可表示为对辅助系统相干场态的路径积分之和，为张量网络提供了自然的连续极限。
• 路径积分形式表明，物理场仅与辅助系统时间演化末尾的点耦合，确保了局域性和物理一致性。
• 在时间T处动态演化后的量子场态可表示为具有特定自由哈密顿量和相互作用项的cMPS，证明了该类在时间演化中的适用性。
• 当辅助系统维度趋于无穷时，福克空间中的所有态均可表示为cMPS，从而证明了cMPS变分类的完备性。
• 通过在最终时间耦合单个辅助振子，可利用完全正映射高效模拟cMPS表示，实现实际的数值实现。