[论文解读] The Control Complexity of $r$-Approval: from the Single-Peaked Case to the General Case

Yongjie Yang, Jiong Guo|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 15

一句话总结

本文研究了在 $\mathfrak{k}$-peak 选举（每位选民的偏好最多有 $\mathfrak{k}$ 个峰值）下，$r$-Approval 投票制度中构造性控制的计算复杂度。即使当 $\mathfrak{k} = 2$ 或 $\mathfrak{k} = 3$ 时，大多数控制问题仍为 NP-完全问题，而针对 $\mathfrak{k} = 2$ 的情况识别出多项式时间可解的情形，并针对解的大小提供了固定参数可追踪性与 W[1]-难解性结果，进一步推广至 Approval 及真诚策略偏好型 Approval（SP-AV）。

ABSTRACT

We investigate the complexity of $r$-Approval control problems in $k$-peaked elections, where at most $k$ peaks are allowed in each vote with respect to an order of the candidates. We show that most NP-hardness results in general elections also hold in k-peaked elections even for $k=2,3$. On the other hand, we derive polynomial-time algorithms for some problems for $k=2$. All our NP-hardness results apply to Approval and sincere-strategy preference-based Approval as well. Our study leads to many dichotomy results for the problems considered in this paper, with respect to the values of $k$ and $r$. In addition, we study $r$-Approval control problems from the viewpoint of parameterized complexity and achieve both fixed-parameter tractability results and W-hardness results, with respect to the solution size. Along the way exploring the complexity of control problems, we obtain two byproducts which are of independent interest. First, we prove that every graph of maximum degree 3 admits a specific 2-interval representation where every 2-interval corresponding to a vertex contains a trivial interval and, moreover, 2-intervals may only intersect at the endpoints of the intervals. Second, we develop a fixed-parameter tractable algorithm for a generalized $r$-Set Packing problem with respect to the solution size, where each element in the given universal set is allowed to occur in more than one r-subset in the solution.

研究动机与目标

• 分析在 $\mathfrak{k}$-peak 偏好下的 $r$-Approval 选举中构造性控制的复杂度，这是单峰选举的一种推广。
• 根据参数 $\mathfrak{k}$（峰值数量）和 $r$（被批准的候选人数量）确定可 tractable 与不可 tractable 控制问题之间的边界。
• 研究以解的大小为参数的 $r$-Approval 控制问题的参数复杂度，建立固定参数可追踪性与 W[1]-难解性。
• 将结果扩展至 Approval 和真诚策略偏好型 Approval（SP-AV），表明 NP-完全性结果具有广泛适用性。
• 推导出两个独立的副产品：最大度为 3 的图的 2-区间表示，以及广义 $r$-集合打包问题的 FPT 算法。

提出的方法

• 通过从独立集问题归约，证明在 $\mathfrak{k} = 3$ 的 $\mathfrak{k}$-peak 选举中，删除候选人的控制问题是 NP-完全的。
• 构造一个 3-和谐顺序 $\mathcal{L}$，以定义候选人的排名，使得所有投票相对于 $\mathcal{L}$ 均为 3-peak。
• 设计具有特定批准模式的投票多重集，以模拟独立集归约中的边与顶点约束。
• 证明从顶点集 $V$ 中删除 $\kappa$ 个候选人才能保证特殊候选人 $p$ 获胜，从而将解的大小与独立集的大小联系起来。
• 开发了一种广义 $r$-集合打包问题的固定参数可追踪算法，允许解中元素在多个 $r$-子集中重复出现。
• 建立最大度为 3 的图的 2-区间表示，其中每个 2-区间包含一个平凡区间，且交点仅出现在端点处。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些 $\mathfrak{k}$ 和 $r$ 值下，$r$-Approval 的构造性控制在 $\mathfrak{k}$-peak 选举中为 NP-完全问题？
• RQ2 对于小的 $\mathfrak{k}$（如 $\mathfrak{k} = 2$）时，$\mathfrak{k}$-peak 选举中的构造性控制问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 以解的大小为参数时，$r$-Approval 控制问题在一般情况与 $\mathfrak{k}$-peak 选举中的参数复杂度如何？
• RQ4 NP-完全性结果是否可推广至 $\mathfrak{k}$-peak 偏好下的 Approval 与 SP-AV 投票制度？
• RQ5 能否利用 $\mathfrak{k}$-peak 选举的结构特性，推导出新的算法结果，例如广义 $r$-集合打包问题？

主要发现

• 即使在 $\mathfrak{k} = 2$ 或 $\mathfrak{k} = 3$ 的情况下，$r$-Approval 中的大多数构造性控制问题仍为 NP-完全问题，表明 $\mathfrak{k}$-peak 性质通常不会简化控制复杂度。
• 当 $\mathfrak{k} = 2$ 时，多个控制问题存在多项式时间算法，从而在 $\mathfrak{k} = 2$ 与 $\mathfrak{k} \geq 3$ 之间形成二分性。
• 本文证明了每个最大度为 3 的图均存在一种 2-区间表示，其中每个 2-区间包含一个平凡区间，且交点仅出现在端点处。
• 针对允许元素在解中多个 $r$-子集中重复出现的广义 $r$-集合打包问题，开发了一种以解的大小为参数的 FPT 算法。
• 所有 NP-完全性结果均可推广至 Approval 与真诚策略偏好型 Approval（SP-AV），表明在 $\mathfrak{k}$-peak 设置下存在广泛不可追踪性。
• 本研究揭示了基于 $\mathfrak{k}$ 和 $r$ 的控制复杂度二分性，其中在 $\mathfrak{k} = 2$ 与多种 $r$ 值下出现可追踪性。