[论文解读] The convexity of inclusions and gradient's concentration for Lamé systems with partially infinite coefficients

Yuanyuan Hou, Hongjie Ju+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文研究了由Lamé系统（具有部分无穷系数）建模的复合材料中的应力集中现象，重点关注相对凸性在梯度爆破中的作用。通过能量法与迭代估计，作者发现当夹杂物具有部分平坦边界（非严格凸性）时，梯度保持一致有界——这与预期的爆破行为相反；而对于 $ m $-阶相对凸性，爆破速率与所有维度下的凸性阶数有定量关联。

ABSTRACT

It is interesting to study the stress concentration between two adjacent stiff inclusions in composite materials, which can be modeled by the Lamé system with partially infinite coefficients. To overcome the difficulty from the lack of maximum principle for elliptic systems, we use the energy method and an iteration technique to study the gradient estimates of the solution. We first find a novel phenomenon that the gradient will not blow up any more once these two adjacent inclusions fail to be locally relatively strictly convex, namely, the top and bottom boundaries of the narrow region are partially "flat". This is contrary to our expectation. In order to further explore the blow-up mechanism of the gradient, we next investigate two adjacent inclusions with relative convexity of order m and finally reveal an underlying relationship between the blow-up rate of the stress and the order of the relative convexity of the subdomains in all dimensions.

研究动机与目标

• 分析高对比度纤维增强复合材料中相邻夹杂物间距较近时的应力集中现象。
• 研究相邻夹杂物之间相对凸性在Lamé系统梯度爆破行为中的作用。
• 通过开发一种新型基于能量的迭代技术，解决椭圆系统中缺乏最大值原理的挑战。
• 建立梯度爆破速率与夹杂物相对凸性阶数之间的定量关系。
• 证明在夹杂物之间的狭窄区域中存在部分平坦性时，可防止梯度爆破，这是应力集中分析中的新现象。

提出的方法

• 采用结合能量法与迭代技术的方法，估算具有部分无穷系数的Lamé系统解的梯度。
• 通过参数 $ t $ 的二进制分解，定义加权能量泛函 $ F(t) $，以控制细长区域中梯度的增长。
• 应用涉及 $ F(t_i) $ 与 $ F(t_{i+1}) $ 的递归不等式，通过 $ k $ 次迭代推导衰减估计，其中 $ t_i = \delta + 2c_2 i |z'|^m $。
• 利用层势分解与边界估计，通过 $ L^2 $ 能量和系统算子范数控制梯度的 $ L^\infty $ 范数。
• 通过结合 $ \nabla w $ 与 $ \nabla v^l $ 的估计，建立 $ |\nabla v| $ 的点态有界性，最终获得梯度有界性。
• 推导关键估计式 $ |\nabla v(x)| \leq \frac{C|\psi(x', \varepsilon + h_1(x'))|}{\varepsilon + |x'|^m} + C\|\psi\|_{C^2(\partial D_1)} $，适用于狭窄区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 当夹杂物仅具有凸性但非严格凸性，特别是其边界存在部分平坦时，Lamé系统中解的梯度会发生什么变化？
• RQ2 两个相邻夹杂物之间 $ m $-阶相对凸性如何影响应力梯度的爆破速率？
• RQ3 能否通过基于能量的迭代方法克服椭圆系统中缺乏最大值原理的问题，从而获得精确的梯度估计？
• RQ4 在高对比度复合材料中，梯度的爆破速率是否由夹杂物边界的几何凸性普遍决定？
• RQ5 在何种几何条件下，当夹杂物间距趋于零时，梯度仍保持一致有界？

主要发现

• 当两个相邻夹杂物之间的狭窄区域在其上下边界上具有正测度的平坦部分时，解的梯度保持一致有界，且与夹杂物间距 $ \varepsilon $ 无关。
• 对于具有 $ m $-阶相对凸性的夹杂物，梯度的爆破速率与 $ m $ 定量相关：在维度 $ d \geq 4 $ 时，其界按 $ \varepsilon^{-1} $ 刻画；在 $ d=3 $ 时，按 $ |\varepsilon \log \varepsilon|^{-1} $ 刻画；在 $ d=2 $ 时，按 $ \varepsilon^{-1/2} $ 刻画，与标量情形一致。
• 在部分平坦性条件下梯度有界性的新现象，与高对比度复合材料中通常预期的爆破行为相悖。
• 基于能量的迭代方法成功克服了Lamé系统中缺乏最大值原理的问题，从而获得精确的点态梯度估计。
• 最终的梯度有界性形式为 $ |\nabla v(x)| \leq \frac{C|\psi(x', \varepsilon + h_1(x'))|}{\varepsilon + |x'|^m} + C\|\psi\|_{C^2(\partial D_1)} $，该式同时捕捉了距离与凸性阶数的影响。
• 结果表明，相对凸性是决定复合材料中应力集中严重程度的关键几何因素。