[论文解读] The Cop Number of Graphs with Forbidden Induced Subgraphs

Mingrui Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了排除特定诱导子图的图的警卫数，提出了一种新方法，用于界定禁止包含特定路径状或星状结构的图族的警卫数。证明了对于 $P_k$-自由图（$k \geq 3$）有 $c(G) \leq k-2$，并将该结果推广至 $(P_i + P_j)$-自由图，得到 $c(G) \leq i+j-2$，同时为 $\{P_k, K_{1,3}\}$-自由图和 $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-自由图建立了更紧的界，部分解决了该猜想并推广了先前的结果。

ABSTRACT

In the game of Cops and Robber, a team of cops attempts to capture a robber on a graph $G$. Initially, all cops occupy some vertices in $G$ and the robber occupies another vertex. In each round, a cop can move to one of its neighbors or stay idle, after which the robber does the same. The robber is caught by a cop if the cop lands on the same vertex which is currently occupied by the robber. The minimum number of cops needed to guarantee capture of a robber on $G$ is called the {\em cop number} of $G$, denoted by $c(G)$. We say a family $\cal F$ of graphs is {\em cop-bounded} if there is a constant $M$ so that $c(G)\leq M$ for every graph $G\in \cal F$. Joret, Kaminński, and Theis [Contrib. Discrete Math. 2010] proved that the class of all graphs not containing a graph $H$ as an induced subgraph is cop-bounded if and only if $H$ is a linear forest; morerover, $C(G)\leq k-2$ if if $G$ is induced-$P_k$-free for $k\geq 3$. In this paper, we consider the cop number of a family of graphs forbidding certain two graphs and generalized some previous results.

研究动机与目标

• 确定排除特定诱导子图（尤其是路径和爪形图）的图的警卫数。
• 将关于 $P_k$-自由图的先前结果推广至禁止多个诱导子图的图族。
• 提出一种统一的方法，通过图的结构分解和追捕策略来界定警卫数。
• 部分解决 Sivaraman 和 Testa 关于 $2P_2$-自由图警卫数的猜想。

提出的方法

• 基于利用最短路径结构和邻域约束来控制警卫与逃犯之间的距离，提出了一种新策略。
• 证明技术利用了警卫与逃犯之间最小距离 $f$ 的概念，并分析其在各轮中的演变过程。
• 警卫被战略性地部署在顶点及其邻域中，以将逃犯隔离在 $P_k$-自由的连通分量中。
• 该方法结合归纳法与结构分析，证明 $k-2$ 名警卫足以控制 $P_k$-自由图，且可推广至路径的并集。
• 对于 $\{P_k, K_{1,3}\}$-自由图，该方法结合路径自由性与爪形图自由性，将警卫数减少至 $k-3$。
• 该方法进一步推广至 $(P_{i_1} + \cdots + P_{i_k})$-自由图，得到 $\sum i_j - 2$ 名警卫的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $k \geq 3$ 的 $P_k$-自由图，其最大警卫数是多少？
• RQ2 能否对同时排除两个诱导子图（如 $P_k$ 和 $K_{1,3}$）的图的警卫数进行界定？
• RQ3 对于 $i,j \geq 1$ 的 $P_i + P_j$-自由图，警卫数的行为如何？
• RQ4 当禁止的诱导子图是路径的不相交并集时，警卫数是否可以降低？
• RQ5 对于 $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-自由图，其警卫数是多少，与已知上界相比如何？

主要发现

• 任何 $P_k$-自由图的警卫数至多为 $k-2$（$k \geq 3$），以新证明方法确认了已知结果。
• 对于 $k \geq 5$ 的 $\{P_k, K_{1,3}\}$-自由图，警卫数至多为 $k-3$，优于仅 $P_k$-自由图的界。
• $(P_i + P_j)$-自由图的警卫数至多为 $i + j - 2$，表明禁止路径的不相交并集可获得比禁止单个路径更紧的界。
• 对于 $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-自由图，警卫数至多为 2，推广了关于 $2P_2$-自由图且补图为无三角形的早期结果。
• 本文证明了 $(P_1 + P_k)$-自由图有 $c(G) \leq k-1$，$(P_2 + P_k)$-自由图有 $c(G) \leq k$，扩展了该方法的适用范围。
• 该方法成功解决了 Sivaraman 和 Testa 关于 $2P_2$-自由图警卫数猜想的部分情况。