[论文解读] The Corona Property in Nevanlinna quotient algebras and Interpolating sequences

Xavier Massaneda, Artur Nicolau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文证明，在 Nevanlinna 商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ 中，Corona 性质成立当且仅当 Blaschke 乘积 $B$ 的零点集是 Nevanlinna 插值序列的有限并集。该结果通过以正调和控制量替代一致下界，将经典 Corona 理论推广至 Nevanlinna 类，并通过差商与调和函数控制，提供了此类 Blaschke 乘积的等价刻画。

ABSTRACT

Let $I$ be an inner function in the unit disk $\\mathbb D$ and let $\\mathcal N$ denote the Nevanlinna class. We prove that under natural assumptions, Bezout equations in the quotient algebra $\\mathcal N/I\\mathcal N$ can be solved if and only if the zeros of $I$ form a finite union of Nevanlinna interpolating sequences. This is in contrast with the situation in the algebra of bounded analytic functions, where being a finite union of interpolating sequences is a sufficient but not necessary condition. An analogous result in the Smirnov class is proved as well as several equivalent descriptions of Blaschke products whose zeros form a finite union of interpolating sequences in the Nevanlinna class.

研究动机与目标

• 刻画在 Nevanlinna 商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ 中，Corona 性质成立的条件，其中 $B$ 为 Blaschke 乘积。
• 通过以正调和控制量替代一致下界，将经典 Corona 理论从 $H^\infty$ 推广至 Nevanlinna 类 $\mathcal{N}$。
• 提供零点集为 Nevanlinna 插值序列有限并集的 Blaschke 乘积的等价刻画。
• 利用 Rouché 定理与调和控制，建立 Nevanlinna 插值序列在小扰动下的稳定性。

提出的方法

• 利用 Nevanlinna 类 $\mathcal{N}$，其中函数具有内-外因子分解且非零函数可逆，定义商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$。
• 通过 Bézout 方程 $f_1g_1 + \cdots + f_n g_n = 1 + Bh$ 在 $\mathcal{N}$ 中可解性来定义 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ 中的 Corona 性质，其中 $f_i, g_i, h \in \mathcal{N}$，且满足对所有 $\lambda \in \Lambda$，有 $|f_1(\lambda)| + \cdots + |f_n(\lambda)| \geq e^{-H(\lambda)}$，$H \in \operatorname{Har}_+(\mathbb{D})$。
• 应用 Rouché 定理，证明 Blaschke 乘积 $B$ 的小扰动 $B - g$ 若其零点集为 Nevanlinna 插值序列的有限并，则其零点结构保持不变，且仍为 Nevanlinna 插值序列。
• 利用 Harnack 不等式与 $|B(N)|$ 的对数次水平集上的 Cauchy 估计，当假设 $|B(N)(z)| \leq \exp(-H_4(z))$ 时导出矛盾，从而证明关于调和控制量的关键命题。
• 在 $\Lambda$ 上使用 $N-1$ 阶差商，通过正调和函数的统一控制刻画 Nevanlinna 插值序列的有限并集。
• 利用 [8, 推论 2.3] 中的稳定性结果，得出若 $g$ 在 $\mathcal{N}$-范数下足够小，则 $B - g$ 的扰动零点集仍为 Nevanlinna 插值序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Nevanlinna 商代数 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ 中，Corona 性质在什么条件下成立？
• RQ2 哪些特征刻画了零点集为 Nevanlinna 插值序列有限并集的 Blaschke 乘积 $B$？
• RQ3 在 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ 中，Bézout 方程的可解性如何与调和控制量相关，而非一致下界？
• RQ4 Nevanlinna 插值序列在生成 Blaschke 乘积的小解析扰动下是否保持不变？
• RQ5 差商在刻画 Nevanlinna 插值序列的有限并集时起什么作用？

主要发现

• 在 $\mathcal{N}/B\mathcal{N}$ 中，Corona 性质成立当且仅当 Blaschke 乘积 $B$ 的零点集 $\Lambda$ 是 Nevanlinna 插值序列的有限并集。
• 对任意 $f_1, \dots, f_n \in \mathcal{N}$，Bézout 方程 $f_1g_1 + \cdots + f_n g_n = 1 + Bh$ 在 $\mathcal{N}$ 中可解，当且仅当对所有 $\lambda \in \Lambda$ 及某个 $H \in \operatorname{Har}_+(\mathbb{D})$，有 $|f_1(\lambda)| + \cdots + |f_n(\lambda)| \geq e^{-H(\lambda)}$。
• 若 $\Lambda = \bigcup_{j=1}^N \Lambda_j$，且每个 $\Lambda_j$ 为 Nevanlinna 插值序列，则存在 $H_1 \in \operatorname{Har}_+(\mathbb{D})$，使得对所有 $z \in \mathbb{D}$ 及 $j = 1, \dots, N$，有 $\#\Lambda_j \cap D_{H_1}(z) \leq 1$。
• 若 $g \in \mathcal{N}$ 满足 $|g(z)| \leq e^{-H_0(z)}$ 且 $H_0 > (N^2 + N + 1)H_1$，则 Blaschke 乘积 $B - g$ 在定义域的每个连通分支中具有与 $B$ 相同的零点数，且其零点集亦为 Nevanlinna 插值序列的有限并集。
• 分解式 $B - g = B_1 G$ 成立，其中 $B_1$ 为有限个 Nevanlinna 内 Blaschke 乘积的乘积，$G$ 在 $\mathcal{N}$ 中可逆，从而 $1/G \in H^\infty$。
• 集合 $\Lambda$ 是 Nevanlinna 插值序列的有限并集，当且仅当 $\mathcal{N}|\Lambda$ 的迹与空间 $X^{N-1}(\Lambda)$ 一致，后者由通过正调和函数统一控制的 $N-1$ 阶差商函数构成。