[论文解读] The cost of continuity: performance of iterative solvers on isogeometric finite elements

Nathan Collier, Lisandro Dalcín+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文分析了在迭代求解器中使用高连续性等几何有限元（C^{p-1} B样条）相较于标准C^0有限元时的计算成本。结果表明，矩阵-向量乘积的计算成本最多为C^0空间的8倍，而预条件矩阵的构造成本最多为p^3倍，尽管采用ILU等高效方法后该成本显著降低。研究表明，对于中等多项式阶次且结合静态消去法时，成本增加被限制在O(p^2)以内，因此在结合有效预条件技术时，高连续性在迭代求解器中具有可行性。

ABSTRACT

In this paper we study how the use of a more continuous set of basis functions affects the cost of solving systems of linear equations resulting from a discretized Galerkin weak form. Specifically, we compare performance of linear solvers when discretizing using $C^0$ B-splines, which span traditional finite element spaces, and $C^{p-1}$ B-splines, which represent maximum continuity. We provide theoretical estimates for the increase in cost of the matrix-vector product as well as for the construction and application of black-box preconditioners. We accompany these estimates with numerical results and study their sensitivity to various grid parameters such as element size $h$ and polynomial order of approximation $p$. Finally, we present timing results for a range of preconditioning options for the Laplace problem. We conclude that the matrix-vector product operation is at most $\slfrac{33p^2}{8}$ times more expensive for the more continuous space, although for moderately low $p$, this number is significantly reduced. Moreover, if static condensation is not employed, this number further reduces to at most a value of 8, even for high $p$. Preconditioning options can be up to $p^3$ times more expensive to setup, although this difference significantly decreases for some popular preconditioners such as Incomplete LU factorization.

研究动机与目标

• 量化在迭代求解器中使用高连续性等几何有限元（C^{p-1} B样条）相较于标准C^0有限元时计算成本的增加。
• 分析基函数连续性对迭代求解器中矩阵-向量乘法、预条件矩阵构造与应用成本的影响。
• 评估常见预条件器（雅可比、SSOR、ILU、EBE、BBB）在C^{p-1}与C^0离散化中对拉普拉斯问题的性能表现。
• 评估C^{p-1}空间更优的逼近特性在实际中是否足以抵消其更高的求解器成本。

提出的方法

• 对C^{p-1}与C^0 B样条离散化下的矩阵-向量乘法与预条件器操作进行理论成本估算。
• 在不同多项式阶次p与自由度N下，使用共轭梯度法结合多种预条件器对拉普拉斯问题进行数值实验。
• 通过PETSc与自定义求解器实现并测量运行时间，比较C^{p-1}与C^0空间的求解时间。
• 引入静态消去法以降低C^0离散化的成本，并评估其对相对性能的影响。
• 使用ILU、EBE与BBB预条件器评估其在高连续性空间中的可扩展性与效率。
• 分析条件数的缩放与迭代次数，以评估不同连续性水平下的收敛行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 与C^0 B样条相比，使用C^{p-1} B样条基函数在迭代求解器中对矩阵-向量乘法成本有何影响？
• RQ2 在C^{p-1}与C^0离散化中，不同预条件策略的预条件矩阵构造与应用成本相对如何？
• RQ3 静态消去法在多大程度上缩小了C^{p-1}与C^0等几何离散化之间的性能差距？
• RQ4 标准预条件器（如ILU、SSOR、雅可比）在高连续性空间中的收敛性与计算成本表现如何？
• RQ5 C^{p-1}空间更优的逼近能力在实际场景中是否足以抵消其更高的求解器成本？

主要发现

• C^{p-1}空间的矩阵-向量乘积成本最多为C^0空间的8倍，即使在高多项式阶次p下亦如此。
• 当对C^0空间应用静态消去法后，C^{p-1}矩阵-向量乘积的相对成本最多为C^0空间的(33p²)/8倍，但该值在低p时显著降低。
• EBE与BBB方法的预条件器构造成本分别为ILU的p³倍，使得其在C^{p-1}空间中成本过高而难以应用。
• ILU预条件在C^{p-1}空间中对条件数的p缩放近乎完美，最多达10⁶个自由度，表明其具有极强的可扩展性。
• 对于中等规模问题与拉普拉斯问题，EBE与BBB预条件器因构造成本过高且无法显著减少迭代次数而表现不佳。
• 尽管构造成本较高，ILU预条件器仍保持高效，无论在迭代次数还是总求解时间方面均表现良好，尤其在结合静态消去法时更为显著。