[论文解读] The cosupport axiom, equivariant cohomology and the intersection cohomology of certain symplectic quotients

Young‐Hoon Kiem, Jonathan Woolf|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本论文提出一个框架，用于计算由非正则余量映射约化产生的奇异辛商的交线上同调，方法为利用等变上同调与一种新的共支集条件。论文证明，在‘准平衡’条件下——即群作用的权对称分布在轨道型层的法丛上——交线上同调同构于零空间等变上同调的一个典范子空间，且通过Kirwan映射保持配对关系。

ABSTRACT

Let $M$ be a proper Hamiltonian $K$-space with proper moment map $μ$. The symplectic quotient $X=μ^{-1}(0)/K$ is in general a singular stratified space. In this paper we first generalize the Kirwan map to this symplectic setting which maps the $K$ equivariant cohomology of $μ^{-1}(0)$ to the middle perversity intersection cohomology $IH^*(X)$. Next, we show that there is a natural right inverse of the Kirwan map, under an assumption coming from the cosupport axiom for the intersection homology sheaf. Furthermore, we can identify the subspace of $H^*_K(μ^{-1}(0))$ which corresponds to $IH^*(X)$. The naturality of the splitting ensures that the intersection pairing corresponds to the cup product on equivariant cohomology. Finally, we show that the same set of ideas can be applied to any circle action and prove similar results without any assumption.

研究动机与目标

• 将交线上同调的计算扩展至余量映射非正则值处的辛商。
• 解决非正则约化中Kirwan映射非满射与非单射的问题。
• 通过一种新的共支集条件，将交线上同调表征为等变上同调的一个子空间。
• 利用导范畴技巧与层论公理，将Kirwan构造推广至奇异商。
• 证明在弱平衡作用下，交线上同调的配对关系可自然对应于等变上同调中的上积。

提出的方法

• 引入‘准平衡’条件，其等价于轨道型层法丛上权的对称分布。
• 在导范畴中构造一个典范态射 λ: IC•(M₀) → C•_K(Z)，该态射分裂Kirwan映射 κ。
• 利用EK ×ₖ Z 上常值层的导出直接像来建模等变上同调 H*ₖ(Z)。
• 应用共支集公理，表征 C•_K(Z) 何时近似于交线上同调复形 IC•(M₀)。
• 对于圆作用，基于不动点处正负权的数量，定义一种非中间的perversity n。
• 应用硬Lefschetz定理与Poincaré对偶性，通过Kähler类的幂次计算 I*H(M₀) 的完整Lefschetz分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当余量映射非正则时，能否从零水平集的等变上同调中恢复奇异辛商的交线上同调？
• RQ2 群作用的何种条件可确保零水平集的等变上同调捕捉到商的交线上同调？
• RQ3 共支集公理如何约束零水平集等变上同调的结构，以关联至交线上同调复形？
• RQ4 在适当条件下，I*H(M₀) 上的交线配对能否自然识别为 H*ₖ(Z) 中的上积？
• RQ5 该理论如何推广至圆作用情形？此时应使用何种perversity以恢复交线上同调？

主要发现

• 在准平衡条件下，存在一个典范态射 λ: IC•(M₀) → C•_K(Z)，其分裂Kirwan映射 κ。
• 交线上同调 I*H(M₀) 作为带非退化配对的分次向量空间，同构于 H*ₖ(Z) 的一个典范子空间。
• 对于弱平衡作用，H*ₖ(Z) 中对应于 I*H(M₀) 的子空间由如下条件刻画：其在每个不动点分支上的限制位于度数小于 2d(F)−1 的范围内。
• I*H(M₀) 上的交线配对对应于 H*ₖ(Z) 中的上积，再通过对邻近正则约化的基本类进行求值而实现。
• 在圆作用情形下，交线上同调同构于 H*ₖ(Z) 中由不动点限制的度数约束所定义的子空间，其中非中间perversity n 由正权的数量定义。
• 对于 SU(2) 作用在 (P¹)^n 上的情形，交线Poincaré多项式为 (1−t²ᵖ)(1−t²ʲ⁺²ʳ)/(1−t²)²，为一个次数为 2n−2 的倒数多项式，证实了硬Lefschetz性质。