[论文解读] The coupled Fokas-Lenells equations by a Riemann-Hilbert approach

Beibei Hu, Tiecheng Xia|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用 8

一句话总结

该论文通过复谱平面上的黎曼-希尔伯特问题，应用统一变换方法求解半直线上耦合福克斯-莱尼斯方程的初值-边值问题。结果表明，空间导数 $\{q_x(x,t), r_x(x,t)\}$ 由复谱平面上的 $3\times3$ 矩阵黎曼-希尔伯特问题的解确定，而完整解 $\{q(x,t), r(x,t)\}$ 通过积分恢复，从而为具有 $3\times3$ Lax 对的可积系统建立了构造性框架。

ABSTRACT

In this paper, we use the unified transform method to consider the initial-boundary value problem for the coupled Fokas-Lenells equations on the half-line, assuming that the solution $\{q(x,t),r(x,t)\}$ of the coupled Fokas-Lenells equations exists, we show that $\{q_x(x,t),r_x(x,t)\}$ can be expressed in terms of the unique solution of a matrix Riemann-Hilbert problem formulated in the plane of the complex spectral parameter $λ$. Thus, the solution $\{q(x,t),r(x,t)\}$ can be obtained by integration with respect to $x$.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，求解半直线上耦合福克斯-莱尼斯方程的初值-边值问题。
• 将先前仅用于 $2\times2$ Lax 对的统一变换方法，扩展至具有 $3\times3$ 矩阵 Lax 对的系统。
• 建立一个黎曼-希尔伯特问题公式，将初始条件与边界条件编码为谱函数，以实现解的重构。
• 在初始与边界条件满足 Schwartz 类衰减假设的前提下，为耦合福克斯-莱尼斯系统的解的存在性与构造性提供严格框架。

提出的方法

• 利用 $3\times3$ 矩阵 Lax 对，表述耦合福克斯-莱尼斯方程的初值-边值问题。
• 从 Schwartz 类中的初始与边界数据，定义谱函数 $s(\lambda)$ 与 $S(\lambda)$。
• 在黎曼 $\lambda$-球面上构造一个分片亚纯矩阵 $M(x,t,\lambda)$，其在轮廓 $\bar{D}_n \cap \bar{D}_m$ 上存在跳跃。
• 推导跳跃条件 $M_n(\lambda) = M_m(\lambda) J_{m,n}$（$n \neq m$），其中跳跃矩阵 $J_{m,n}$ 依赖于谱数据。
• 利用 $M(x,t,\lambda)$ 在 $\lambda \to \infty$ 时的渐近行为，通过 $-2i\lim_{\lambda\to\infty} \lambda M_{12}$ 和 $\lambda M_{13}$ 恢复 $q_x(x,t)$ 与 $r_x(x,t)$。
• 对空间导数进行积分，以重构完整解 $\{q(x,t), r(x,t)\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 统一变换方法能否扩展至具有 $3\times3$ Lax 对的可积系统（如耦合福克斯-莱尼斯方程）？
• RQ2 初始与边界条件如何被编码进此类系统的黎曼-希尔伯特问题中？
• RQ3 用于解重构的谱函数与跳跃矩阵的精确结构是什么？
• RQ4 在初始与边界数据满足 Schwartz 类衰减假设的前提下，能否从黎曼-希尔伯特问题中恢复解？
• RQ5 全局关系在通过谱函数将初始数据与边界数据关联起来的过程中起什么作用？

主要发现

• 空间导数 $q_x(x,t)$ 与 $r_x(x,t)$ 表示为 $3\times3$ 矩阵黎曼-希尔伯特问题解 $M(x,t,\lambda)$ 在 $\lambda \to \infty$ 时渐近展开的留数。
• 解 $M(x,t,\lambda)$ 在将黎曼球面划分为四个区域 $D_1, D_2, D_3, D_4$ 的轮廓上满足跳跃条件，跳跃矩阵 $J_{m,n}$ 由谱数据导出。
• 当 $\lambda \to \infty$ 时，解 $M(x,t,\lambda)$ 满足归一化条件 $M(x,t,\lambda) = \mathbb{I} + O(\lambda^{-1})$，确保了适当的谱行为。
• 在谱函数在极点 $\lambda_j$ 处无零点的假设下，黎曼-希尔伯特问题适定，保证了解的存在性。
• 通过关于 $x$ 积分 $q_x(x,t)$ 与 $r_x(x,t)$，可获得完整解 $\{q(x,t), r(x,t)\}$，完成重构过程。
• 该方法为具有高阶 Lax 对的可积系统初值-边值问题的求解建立了构造性框架，将反散射方法推广至边界值问题。