[论文解读] The Cox Ring of a Del Pezzo Surface Has Rational Singularities

О. Н. Попов|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文证明了在特征零下，光滑的 Del Pezzo 曲面 $X_r$（通过在 $\mathbb{P}^2$ 上一般位置的 $r \leq 8$ 个点进行 blowing up 得到）的 Cox 环是 Gorenstein 的，且其谱 $\mathbb{A}(X_r)$ 具有有理奇点。该结果通过将 Cox 环描述为一个幂零群作用的不变环而建立，利用正规性、阶因子性以及上同调消去性，推导出有理奇点和 Gorenstein 性质。

ABSTRACT

For a smooth Del Pezzo surface the direct sum of global sections of all isomorphism classes of invertible sheaves on it can be almost canonically endowed with a ring structure, called the Cox ring. We show that in characteristic 0 this ring is Gorenstein and its spectrum has rational singularities. Also a gap in math.AG/0309111 is pointed out.

研究动机与目标

• 建立 Del Pezzo 曲面的 Cox 环谱在特征零下具有有理奇点。
• 证明对于光滑的 Del Pezzo 曲面（度数为 $9 - r$，$r \leq 8$），Cox 环是 Gorenstein 的，因而也是 Cohen-Macaulay 的。
• 通过不变理论和上同调技术，填补先前工作中存在的漏洞，完整证明 Gorenstein 性质与有理奇点性质。

提出的方法

• 将 Cox 环 $\operatorname{Cox}(X_r)$ 实现为一个幂零群作用的不变环，从而保证其正规性和阶因子性。
• 通过其作为 $X_r$ 上的通用挠子丛的结构分析谱 $\mathbb{A}(X_r) = \operatorname{Spec} \operatorname{Cox}(X_r)$，其中 $T$-作用通过 $\mathbb{G}_m$-作用分解。
• 利用高阶上同调群 $H^i(\mathbb{P}(X_r), \mathcal{O}(n))$ 对 $n \geq 0$ 的上同调消去性，建立有理奇点性质。
• 通过从基曲面的陈类拉回，计算 $\mathbb{P}(X_r)$ 的反 canonical 类为 $9 - r$ 倍 $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}(X_r))$ 的 ample 生成元。
• 对 $r$ 使用归纳法，利用 $\mathbb{P}(X_{r+1})$ 被同构于 $\mathbb{A}(X_r)$ 的坐标图覆盖的事实（$r \leq 7$），将 $\mathbb{P}(X_{r+1})$ 的奇点与 $\mathbb{A}(X_r)$ 的奇点联系起来。
• 通过标准交换代数：Cohen-Macaulay、有限生成代数若具有典范模，则为 Gorenstein，推导出 Gorenstein 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 Del Pezzo 曲面的 Cox 环谱在特征零下是否具有有理奇点？
• RQ2 Del Pezzo 曲面的 Cox 环在特征零下是否为 Gorenstein 且 Cohen-Macaulay？
• RQ3 $\mathbb{P}(X_r)$ 的反 canonical 类是什么？它与曲面的度数有何关系？
• RQ4 Cox 环的 Gorenstein 性质与有理奇点性质能否通过不变理论与上同调方法建立？
• RQ5 [B-P] 中关于 $r=8$ 时 Cox 环由例外曲线的截面与反 canonical 线丛生成的断言是否得到充分证明？

主要发现

• 在特征零下，Del Pezzo 曲面的 Cox 环谱 $\mathbb{A}(X_r)$ 具有有理奇点。
• 在特征零下，Cox 环 $\operatorname{Cox}(X_r)$ 是 Gorenstein 的，因而也是 Cohen-Macaulay 的。
• $\mathbb{P}(X_r)$ 的反 canonical 类为 $9 - r$ 倍 $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}(X_r))$ 的 ample 生成元，而 $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}(X_r))$ 同构于 $\mathbb{Z}$。
• 通过归纳法与上同调消去性，证明了对 $r \leq 8$，$\mathbb{P}(X_r)$ 具有有理 Gorenstein 奇点。
• Cox 环是阶因子且正规的，因为它是幂零群作用的不变环。
• 在 [B-P] 的命题 3.4 中发现一个漏洞：关于 $\operatorname{Cox}(X_8)$ 由例外曲线截面生成的断言未得到充分证明，仍为开放问题。