[论文解读] The Cox ring of an algebraic variety with torus action

Juergen Hausen, Hendrik Süß|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文通过多面体除子和Orlik-Wagreich图，对具有复杂度为一的有效 torus 作用的正常完备代数簇的 Cox 环提供了完整的组合描述。通过几何商和分离方法，建立了 Cox 环的显式生成元与关系表达式，推广了经典的 торик 变体结果，并显式计算了 Gorenstein del Pezzo 表面和投影化向量丛的 Cox 环。

ABSTRACT

We investigate the Cox ring of a normal complete variety X with algebraic torus action. Our first results relate the Cox ring of X to that of a maximal geometric quotient of X. As a consequence, we obtain a complete description of the Cox ring in terms of generators and relations for varieties with torus action of complexity one. Moreover, we provide a combinatorial approach to the Cox ring using the language of polyhedral divisors. Applied to smooth k*-surfaces, our results give a description of the Cox ring in terms of Orlik-Wagreich graphs. As examples, we explicitly compute the Cox rings of all Gorenstein del Pezzo k*-surfaces with Picard number at most two and the Cox rings of projectivizations of rank two vector bundles as well as cotangent bundles over toric varieties in terms of Klyachko's description.

研究动机与目标

• 通过生成元与关系描述具有 torus 作用的正常完备代数簇的 Cox 环。
• 建立该簇的 Cox 环与其在 torus 作用下最大几何商的 Cox 环之间的关系。
• 利用多面体除子为复杂度为一的情形提供 Cox 环计算的组合框架。
• 将该框架应用于计算 Gorenstein del Pezzo ${\mathbb{K}}^{*}$-曲面和 toric 变体上投影化余切丛的显式 Cox 环。

提出的方法

• 利用 torus 作用自由的极大开子集 $X_0 \subseteq X$ 构造几何商 $X_0/T$。
• 通过涉及不变除子的典范截面的分次环同构，将 Cox 环 $\mathcal{R}(X)$ 与 $\mathcal{R}(X_0/T)$ 关联起来。
• 为 $X \setminus X_0$ 中的除子引入典范截面 $1_{E_k}$，为具有有限稳定子的除子引入 $1_{D_j}$。
• 应用分离映射 $\pi: X_0/T \dashrightarrow Y$ 将问题约化为一个 Cox 环已知的簇 $Y$。
• 使用多面体除子编码 $X_0/T$ 的几何结构，并通过单项式与三项式推导 Cox 环中的关系。
• 利用 Klyachko 对 torus-等变向量丛的描述，计算投影化丛与余切丛的 Cox 环。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过生成元与关系描述具有 torus 作用的正常完备代数簇的 Cox 环？
• RQ2 该簇的 Cox 环与其在 torus 作用下最大几何商的 Cox 环之间有何关系？
• RQ3 在复杂度为一的情形下，能否利用多面体除子组合地计算 Cox 环？
• RQ4 Orlik-Wagreich 图如何编码光滑 ${\mathbb{K}}^{*}$-曲面的 Cox 环结构？
• RQ5 Picard 数不超过二的 Gorenstein del Pezzo ${\mathbb{K}}^{*}$-曲面的 Cox 环的显式形式是什么？

主要发现

• 具有复杂度为一的 torus 作用的簇的 Cox 环同构于 $\mathcal{R}(Y)[S_1,\ldots,S_m,T_{ij}]/\langle T_i^{l_i} - 1_{C_i} \rangle$，其中 $Y$ 是商 $X_0/T$ 的分离。
• 对于光滑 ${\mathbb{K}}^{*}$-曲面，Cox 环通过 Orlik-Wagreich 图描述，为环结构提供了组合不变量。
• 所有 Picard 数 $\leq 2$ 的 Gorenstein del Pezzo ${\mathbb{K}}^{*}$-曲面的 Cox 环均被显式计算。
• 在 toric 变体上具有秩为二的 torus-等变向量丛的投影化丛的 Cox 环由含稳定子阶关系的多项式扩张给出。
• 通过 Klyachko 的滤子数据计算了 toric 变体上余切丛的 Cox 环，得到了以单项式与三项式表示的展示。
• 该构造推广了 Cox 对 toric 变体的结果，在 toric 情形下恢复了多项式环结构。