[论文解读] The Cox Ring of $\bar{M}_{0,6}$

Ana-Maria Castravet|arXiv (Cornell University)|May 1, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文证明了模空间 $\overline{M}_{0,6}$ 的 Cox 环是由边界除子和 Keel-Vermeire 除子的截面有限生成的——这些 Keel-Vermeire 除子是通过将 $\overline{M}_{0,6} \to \overline{M}_3$ 的态射（将三对标记点配对）拉回 $\overline{M}_3$ 中的双曲平展子簇得到的。该结果为 Hassett 与 Tschinkel 关于 $\overline{M}_{0,6}$ 的有效锥结构的描述提供了自包含的代数证明，确认其由这些除子生成。

ABSTRACT

We prove that the Cox ring of $\bar{M}_{0,6}$, the moduli space of stable, rational curves with 6 marked points, is finitely generated by sections corresponding to the boundary divisors and divisors which are pull-backs of the hyperelliptic locus in $\bar{M}_3$, the moduli space of stable, genus 3 curves, via morphisms that send a 6-pointed rational curve to a curve with 3 nodes by identifying 3 pairs of points. In particular, this gives a self-contained proof of Hassett and Tschinkel's result about the effective cone of $\bar{M}_{0,6}$ being generated by the above mentioned divisors.

研究动机与目标

• 解决 Hu 与 Keel 关于 $\overline{M}_{0,n}$ 在 $n=6$ 时 Cox 环有限生成性的猜想。
• 为 Hassett 与 Tschinkel 关于 $\overline{M}_{0,6}$ 的有效锥由边界除子与 Keel-Vermeire 除子生成的结果提供一个自包含的代数证明。
• 确立 $\overline{M}_{0,6}$ 的 Cox 环由边界除子 $\Lambda_{ijk}$、$E_i$、$E_{ij}$ 以及 Keel-Vermeire 除子 $Q_{(ij)(kl)}$ 的截面生成。
• 通过证明 Cox 环的有限生成性，确立 $\overline{M}_{0,6}$ 是 Mori Dream 空间。

提出的方法

• 使用 Kapranov 对 $\overline{M}_{0,6}$ 的描述：将 $\mathbb{P}^3$ 在五个点上进行迭代的爆破，以及连接这些点的直线的严格提升。
• 分析除子 $D = dH - \sum m_i E_i - \sum m_{ij} E_{ij}$ 在关键子簇上的限制：平面 $\Lambda_{ijk}$ 和二次曲面 $Q_{(ij)(kl)}$。
• 应用从 $\mathbb{P}^2$ 在七个非一般点上爆破得到的重数估计与不等式，以约束有效除子类。
• 使用限制公式，将 $D|_{\Lambda_{ijk}}$ 与 $D|_{Q_{(ij)(kl)}}$ 表示为相应曲面上的超平面与例外除子的组合。
• 应用关于 $\mathbb{P}^2$ 的爆破上有效除子的引理 7.3，推导出有效限制所必需的不等式。
• 结合对多个子簇的限制，导出刻画 Cox 环中有效除子类的一组不等式系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $\overline{M}_{0,6}$ 的 Cox 环是有限生成的？若是，由哪些显式截面生成？
• RQ2 边界除子与 Keel-Vermeire 除子是否生成了 $\overline{M}_{0,6}$ 的有效锥？
• RQ3 能否在不依赖计算机验证的情况下确立 $\overline{M}_{0,6}$ 的 Cox 环的有限生成性？
• RQ4 $\overline{M}_{0,6}$ 作为 Mori Dream 空间是否可由其 Cox 环的显式生成元推出？
• RQ5 Keel-Vermeire 除子（即拉回 $\overline{M}_3$ 中双曲平展子簇的除子）是否足以生成 Cox 环？

主要发现

• $\overline{M}_{0,6}$ 的 Cox 环由边界除子 $\Lambda_{ijk}$、$E_i$、$E_{ij}$ 以及 Keel-Vermeire 除子 $Q_{(ij)(kl)}$ 的截面有限生成。
• 除子 $D$ 在每个 $\Lambda_{ijk}$ 上的限制导出不等式 $d \geq m_i + m_{jk}$、$d \geq m_{ij} + m_{ik} + m_{jk} + m_{uv}$ 与 $2d \geq m_i + m_j + m_k + m_{uv}$，确保其有效性。
• 除子 $D$ 在每个 $Q_{(ij)(kl)}$ 上的限制导出不等式 $2d \geq m_5 + m_{13} + m_{14} + m_{23} + m_{24}$ 与 $2d \geq m_1 + m_5 + m_{23} + m_{24}$，这些是有效性的必要条件。
• 该证明确立了 $\overline{M}_{0,6}$ 是 Mori Dream 空间，因为其 Cox 环是有限生成的。
• 该结果为 Hassett 与 Tschinkel 关于 $\overline{M}_{0,6}$ 有效锥结构的描述提供了自包含的、非计算性的证明，确认其由指定除子生成。
• 通过限制到子簇 $\Lambda_{ijk}$ 与 $Q_{(ij)(kl)}$ 的方法，成功刻画了 Cox 环中所有有效除子类。