[论文解读] The critical CoHA of a self dual quiver with potential

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文证明了自对偶带势 quiver 的临界共形霍尔代数（CoHA）是自由超交换的，其生成元对应于 BPS 状态；该结构通过自由超交换代数的特征函数，解释了精化唐纳森-托马斯不变量中的无限乘积公式，并为在自对偶条件下 BPS 状态空间的有限维性提供了证据。

ABSTRACT

In this paper we provide an explanation for the many beautiful infinite product formulas for generating functions of refined DT invariants for symmetric quivers with potential: they are characteristic functions of free supercommutative algebras. We prove this by first showing that, for a quiver with potential that satisfies a notion of self duality, introduced below, the critical cohomological Hall algebra is supercommutative, and admits a kind of localised coproduct, which is enough to guarantee freeness. The primitive graded pieces of the space of generators of the cohomological Hall algebra are a putative definition of the space of BPS states in String Theory, and we discuss the issue of their finite-dimensionality. We consider the conjecture that in the presence of the above-mentioned self duality these spaces are always finite-dimensional, and finish with some examples, in which, amongst other things, this conjecture can be seen to hold. Some of these examples use a cohomological dimensional reduction of the sort used by Behrend, Bryan and Szendr\H{o}i to calculate the motivic DT invariants of $\mathbb{C}^3$. We prove the required isomorphism holds in the appendix. The final example pulls together all of the technology in this paper to describe the link between critical CoHAs and character varieties: we build a free supercommutative critical CoHA out of the cohomology of untwisted character varieties, and present some evidence that the spaces of primitive generators in this case are given by the cohomology of their twisted counterparts. In a separate paper we discuss our other main example, which yields a new proof of the Kac conjecture.

研究动机与目标

• 解释对称带势 quiver 的精化唐纳森-托马斯不变量中无限乘积公式的来源。
• 证明自对偶带势 quiver 的临界 CoHA 是超交换的，并且具有局部化余乘法结构，从而确保代数的自由性。
• 将临界 CoHA 中的本原生成元空间定义为 BPS 状态的候选，并研究其有限维性。
• 通过从非扭特征簇上同调构造自由超交换临界 CoHA，将临界 CoHA 与特征簇联系起来。
• 利用示例（包括上同调维数约化和上同调技术）为 BPS 状态空间在自对偶条件下有限维的猜想提供证据。

提出的方法

• 引入 quiver 带势的自对偶性概念，以确保临界 CoHA 是超交换的。
• 在临界 CoHA 上构造一个局部化余乘法结构，该结构足以证明代数的自由性。
• 采用受 Behrend、Bryan 和 Szendrői 启发的上同调维数约化技术，计算动机型 DT 不变量。
• 将临界 CoHA 与非扭和扭特征簇联系起来，表明本原生成元可实现在扭特征簇的上同调中。
• 在附录中证明了相关上同调构造之间的同构，支持主要技术命题。
• 将该框架应用于一个关键示例，从而在附录论文中给出了 Kac 猜想的新证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何对称带势 quiver 的精化唐纳森-托马斯不变量表现出无限乘积公式？其背后的代数结构是什么？
• RQ2 在何种条件下，带势 quiver 的临界共形霍尔代数（CoHA）是超交换且自由的？
• RQ3 当带势 quiver 具有自对偶性时，临界 CoHA 的本原分次分量（作为 BPS 状态空间的候选）是否有限维？
• RQ4 非扭与扭特征簇的上同调如何与临界 CoHA 的结构相关联？
• RQ5 自对偶带势 quiver 的框架能否用于证明或支持 Kac 猜想？

主要发现

• 证明了自对偶带势 quiver 的临界 CoHA 是自由超交换的，其代数结构源于局部化余乘法。
• 精化 DT 不变量中的无限乘积公式被解释为自由超交换代数的特征函数。
• 临界 CoHA 的本原生成元被识别为弦理论中 BPS 状态的候选定义。
• 提供了证据表明在自对偶条件下，本原生成元的空间是有限维的，支持了一个关键猜想。
• 成功构造了从非扭特征簇上同调出发的自由超交换临界 CoHA，且与扭特征簇上同调相联系。
• 该框架导出了 Kac 猜想的新证明，详见附录论文。