[论文解读] The critical group of a directed graph

David G. Wagner|ArXiv.org|Oct 25, 2000

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 28

一句话总结

本文通过整数环上转置拉普拉斯矩阵的余核，将无向图的临界群推广至有向图。对于强连通有向图，证明了临界群与芯片下注动力学通过稳定配置的等价类相关联，并表明对于无向图，约化临界群仅依赖于图的拟阵；同时证明尽管生成树与临界群元素数量相等，但二者之间不存在自然双射。

ABSTRACT

The critical group K(G) of a directed graph G=(V,E) is the cokernel of the transpose of the Laplacian matrix of G acting on the integer lattice Z^V. For undirected graphs G, this has been considered by Bacher, de la Harpe, and Nagnibeda, and by Biggs. We prove several things, among which are: K(G/p) is a subgroup of K(G) when p is an equitable partition and G is strongly connected; for undirected graphs, the torsion subgroup of K(G) depends only on the graphic matroid of G; and, the `dollar game' of Biggs can be generalized to give a combinatorial interpretation for the elements of K(G), when G is strongly connected.

研究动机与目标

• 通过整数环上转置拉普拉斯矩阵的余核，将临界群理论从无向图推广至有向图。
• 研究有向图中临界群的结构不变量，特别是其秩和生成元数量。
• 确定无向图的临界群是否仅依赖于其图拟阵。
• 检验无向图中生成树与临界群元素之间是否存在自然双射。
• 将 Biggs 的美元游戏推广至强连通有向图，并从组合角度解释临界群元素。

提出的方法

• 将临界群 K(G) 定义为转置拉普拉斯矩阵在 Z^V 上作用的余核的挠子群。
• 利用转置拉普拉斯矩阵的史密斯标准型计算临界群的不变因子。
• 引入强连通图的均衡划分，并证明 K(G/π) 嵌入于 K(G) 中。
• 建立约化临界群 K(G) 的元素与芯片下注游戏中临界配置等价类之间的对应关系。
• 证明对于无向图，K(G) 仅依赖于图的拟阵，通过在拟阵同构下保持不变性。
• 将美元游戏推广至强连通有向图，并证明临界配置与 K(G) 的元素之间存在双射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 G 为无向图时，有向图 G 的约化临界群 K(G) 是否仅依赖于其底层图拟阵？
• RQ2 是否存在无向图 G 的生成树集合与临界群 K(G) 元素之间的自然双射？
• RQ3 能否将无向图上的美元游戏推广至强连通有向图，使得 K(G) 的元素与临界配置的等价类一一对应？
• RQ4 对于具有指定银行顶点 $ 的强连通有向图 G，何时每类配置的大小恰好为 h($)？
• RQ5 是否存在多项式时间算法，用于判断强连通图中给定顶点在等价类大小语境下是否为“小”或“公平”？

主要发现

• 对于任意有向图 G，其对偶临界群 K*(G) 同构于临界群 K(G)，但该同构在一般情况下并非自然的。
• 当 G 为强连通图且 π 为均衡划分时，K(G/π) 同构于 K(G) 的子群。
• 对于无向图，约化临界群 K(G) 仅依赖于图 G 的图拟阵，而与具体的边集无关。
• 尽管连通无向图 G 的生成树集合与临界群 K(G) 的元素数量相等，但二者之间不存在自然双射。
• 在强连通有向图上的广义美元游戏中，K(G) 的元素与临界配置的等价类之间存在双射关系。
• 对于无环的强连通图 G（银行顶点为 $），其临界群 K(G) 同构于子群 U / Q†Z^V，其中 U 由和为零的整数向量构成。