[论文解读] The Critical State and the Steady-State solution in Granular Solid Hydrodynamics

Stefan Mahle, Yimin Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2010

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文将颗粒材料的临界状态识别为颗粒固体力学（gsh）的稳态解，其中弹性应变与能量耗散达到平衡，从而产生速率无关、完全塑性的流动。该理论通过颗粒尺度的持续扰动与接触松弛的连续、能量守恒动力学，解释了临界状态的稳定性、普遍性及速率无关性。

ABSTRACT

The approach to the critical state -- the transition from partially elastic to perfectly plastic behavior -- is considered the most characteristic of granular phenomena in soil mechanics. By identifying the critical state as the steady-state solution of the elastic strain, and presenting the main results as transparent, analytic expressions, the physics of this important phenomenon is clarified.

研究动机与目标

• 阐明颗粒材料中临界状态的物理起源，这是土力学的标志性现象。
• 解释为何临界状态具有稳定性、速率无关性，并在不同初始密度下普遍被观测到。
• 证明临界状态自然地作为颗粒固体力学（gsh）中的稳态解出现，而非人为假设。
• 通过将屈服点与弹性应变动力学的能量稳定性联系起来，解决关于屈服点与边缘稳定性的概念模糊性。
• 提供一个透明、解析的框架，解释临界状态，而无需依赖如超弹性模型等现象学模型。

提出的方法

• 将颗粒固体力学（gsh）表述为基于能量守恒与热力学原理的连续介质理论。
• 通过持久的颗粒接触建模弹性应变，通过剪切过程中接触的瞬时丧失（即扰动）建模能量耗散。
• 推导弹性应变与颗粒温度的演化方程，其中应力演化由应变累积与松弛之间的平衡所决定。
• 将临界状态识别为在恒定剪切速率下，弹性应变与应力保持恒定的稳态解。
• 采用基于颗粒尺度物理参数的本构模型：弹性系数 $\xi$，松弛速率 $\Lambda$，以及摩擦耦合 $\alpha_2$。
• 将理论应用于三轴压缩试验，求解应力 $q$、孔隙比 $e$ 与颗粒温度 $T_g$ 作为应变 $\varepsilon_3$ 的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何临界状态稳定且速率无关，尽管在传统意义上不存在屈服面？
• RQ2 临界状态如何作为颗粒流连续介质理论中的稳态解出现？
• RQ3 临界摩擦角 $\varphi_c$ 的普遍性由什么决定，为何其与围压无关？
• RQ4 为何密实砂在接近临界状态前出现剪应力峰值，而松散砂则无此现象？
• RQ5 临界状态稳定性的物理基础是什么，其与弹性应变能量稳定性的关系如何？

主要发现

• 临界状态是颗粒固体力学（gsh）的稳定、稳态解，其中弹性应变与能量耗散精确平衡。
• 临界状态以恒定剪应力 $q_c$ 与孔隙比 $e_c$ 为特征，二者均与剪切速率无关，证实了速率无关性。
• 临界摩擦角 $\varphi_c$ 为常数且与围压 $P$ 无关，因为 $\sigma_{s}/P \propto \alpha_2 / \Lambda_1$，而 $\rho_{cp} - \rho$ 依赖关系下该比值恒定。
• 当 $\xi = 5/3$ 时，临界状态仅在 $\tan\varphi_c < 1/\sqrt{\xi} \approx 0.447$，即 $\varphi_c < 38^\circ$ 时稳定，此条件在 $\alpha_2 > 3\sqrt{30}$ 时成立。
• 屈服点并非物理不稳定性，而是数学上的伪影；能量稳定性取决于 $\partial\sigma_3/\partial u_3 > 0$，而非 $\partial\sigma_3/\partial\varepsilon_3$。
• 临界状态并非处于不稳定的边缘，而是具有能量稳定性，其条件 $u_c/\Delta_c < \sqrt{2\xi}$ 确保了能量函数的凸性。