[论文解读] The CROCs, non-commutative deformations, and (co)associative bialgebras

Boris Shoikhet|ArXiv.org|Jun 9, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文引入了一种新的代数结构——CROC（紧化黎曼演算复形），作为控制（共）结合双代数非交换形变的康特晓维奇空间 $K(m,n)$ 的紧化。它构造了一个猜想性地控制非交换形变的结合微分分次代数，并利用奎伦对偶性推导出一个猜想性地控制交换形变的微分分次李代数，暗示在此背景下非交换形变可能更为根本。

ABSTRACT

We compactify the spaces $K(m,n)$ introduced by Maxim Kontsevich. The initial idea was to construct an $L_\infty$ algebra governing the deformations of a (co)associative bialgebra. However, this compactification leads not to a resolution of the PROP of (co)associative bialgebras, but to a new algebraic structure we call here a CROC. It turns out that these constructions are related to the non-commutative deformations of (co)associative bialgebras. We construct an associative dg algebra conjecturally governing the non-commutative deformations of a bialgebra. Then, using the Quillen duality, we construct a dg Lie algebra conjecturally governing the commutative (usual) deformations of a (co)associative bialgebra. Philosophically, the main point is that for the associative bialgebras the non-commutative deformations is maybe a more fundamental object than the usual commutative ones.

研究动机与目标

• 构建一个控制（共）结合双代数形变的 $L_{\nu}$-代数，最初预期是对此类双代数的PROP的解析解。
• 以揭示超出预期PROP的新代数结构的方式，紧化康特晓维奇的 $K(m,n)$ 空间。
• 定义由紧化空间的边界层结构所生成的新代数结构——CROC。
• 构造一个猜想性地控制双代数非交换形变的结合微分分次代数。
• 利用奎伦对偶性，从非交换结构推导出一个猜想性地控制标准（交换）形变的微分分次李代数。

提出的方法

• 紧化康特晓维奇引入的 $K(m,n)$ 空间，揭示涉及多指标空间 $K_{m_1,\dots,m_{\ell_1}}^{n_1,\dots,n_{\ell_2}}$ 的边界层结构。
• 将CROC定义为由紧化空间参数化的运算所形成的代数结构，推广了PROP结构。
• 通过在余链复形的对偶上使用张量代数构造，将Quillen对偶性应用于一个假设的非交换形变代数，构造出一个结合微分分次代数 $\mho$。
• 两次应用Quillen对偶性：首先得到一个微分分次交换代数 $A_0^\bullet = \Omega / [\Omega, \Omega]$，然后得到一个猜想性地控制交换形变的微分分次李代数 $\mathfrak{g}^\bullet$。
• 以Hochschild复形与Gerstenhaber括号作为结合情形下形变李代数的模型，并通过映射 $\mathfrak{g}^\bullet \to \mho$ 进行比较。
• 提出一个猜想：$H^0(\mathfrak{g}^\bullet) \cong A_0^\bullet$，即0阶上同调同构于模空间中双代数形式邻域上的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 康特晓维奇的 $K(m,n)$ 空间的紧化是否能产生超越预期PROP的新型代数结构，以描述（共）结合双代数？
• RQ2 （共）结合双代数的非交换形变理论是否比标准的交换形变理论更为根本？
• RQ3 通过Quillen对偶性构造的结合微分分次代数 $\mho$ 是否确实控制双代数的非交换形变？
• RQ4 将 $\mho$ 的Quillen对偶模去其换位子是否能产生一个微分分次交换代数，其0阶上同调能描述双代数的正式模空间？
• RQ5 最终得到的微分分次李代数 $\mathfrak{g}^\bullet$ 是否猜想性地控制双代数的交换形变？

主要发现

• 对 $K(m,n)$ 的紧化导致了一种称为CROC的新代数结构的出现，该结构推广了PROP，源于多指标紧化空间的乘积。
• 该构造产生了一个猜想性地控制（共）结合双代数非交换形变的结合微分分次代数 $\mho$，其通过Quillen对偶性实现。
• 将 $\mho$ 的Quillen对偶模去其换位子，产生了一个微分分次交换代数 $A_0^\bullet$，其0阶上同调同构于模空间中双代数形式邻域上的函数。
• 对 $A_0^\bullet$ 的Quillen对偶是一个微分分次李代数 $\mathfrak{g}^\bullet$，猜想性地控制双代数的交换形变。
• 在自由交换、余交换双代数 $S(V)$ 的情形下，猜想 $\mho$ 是形式的，且由此产生的 $\mathfrak{g}^\bullet$ 也是形式的。
• 在结合代数情形下，映射 $\mathfrak{g}^\bullet \to \mho$ 存在，但在双代数情形下不成立，因此需要采用双重Quillen对偶构造。