[论文解读] The Crossing Tverberg Theorem

Radoslav Fulek, Bernd Gärtner+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

本文提出了交叉Tverberg定理，这是Tverberg经典定理的强化版本，该定理保证在d维空间中，点集可被划分为r个子集，使得它们的凸包在一点相交，且任意两凸包的边界交集非空。关键结果是：对于任意在ℝᵈ中处于一般位置的(d+1)r个点，总能找出r个两两交叉的单形（例如2维中的三角形），这些单形顶点互不相交且共点，从而在平面上实现了⌊n/3⌋个此类三角形的最优界。

ABSTRACT

The Tverberg theorem is one of the cornerstones of discrete geometry. It states that, given a set X of at least (d+1)(r-1)+1 points in R^d, one can find a partition X=X_1 cup ... cup X_r of X, such that the convex hulls of the X_i, i=1,...,r, all share a common point. In this paper, we prove a strengthening of this theorem that guarantees a partition which, in addition to the above, has the property that the boundaries of full-dimensional convex hulls have pairwise nonempty intersections. Possible generalizations and algorithmic aspects are also discussed. As a concrete application, we show that any n points in the plane in general position span floor[n/3] vertex-disjoint triangles that are pairwise crossing, meaning that their boundaries have pairwise nonempty intersections; this number is clearly best possible. A previous result of Alvarez-Rebollar et al. guarantees floor[n/6] pairwise crossing triangles. Our result generalizes to a result about simplices in R^d,d >=2.

研究动机与目标

• 通过保证Tverberg划分中凸包不仅在一点相交，且边界也两两相交，来强化Tverberg定理。
• 弥合已知下界⌊n/6⌋对平面中处于一般位置的点集的两两交叉三角形数量与理论最大值⌊n/3⌋之间的差距。
• 将结果推广至d维单形，并在ℝᵈ中建立顶点互不相交、两两交叉单形的最优界。
• 探讨高效寻找此类划分的算法方面与计算复杂性。
• 研究在高维中是否可强制施加更强的拓扑交叉条件（例如面的链接）

提出的方法

• 通过确保划分中子集凸包不仅共享公共点，且边界也相交，证明Tverberg定理的强化版本。
• 采用基于Tverberg划分的构造性方法，并应用Carathéodory定理将较大集合缩减至大小d+1，同时保持公共交点不变。
• 引入并分析“修复对”过程，通过利用单形体积的字典序对Tverberg划分进行迭代修改，以确保边界交叉。
• 运用基于体积的论证与拓扑推理，表明体积字典序中的进展意味着收敛至交叉划分。
• 使用SAT求解器与随机实现构造3D中的反例，表明更强的链接条件（如面的链接）无法保证。
• 将结果推广至高维，并讨论其对完全图的伪线性与简单图绘制的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造一种Tverberg划分，使得所有凸包的边界不仅共享一个公共点，且两两相交？
• RQ2 在任意处于一般位置的平面上n个点的集合中，是否总能达到⌊n/3⌋个顶点互不相交、两两交叉的三角形的最优界？
• RQ3 高效寻找此类交叉Tverberg划分的算法与计算复杂性极限是什么？
• RQ4 在高维Tverberg划分中，是否可保证更强的拓扑交叉条件（如面的链接）？
• RQ5 这些结果如何推广至完全图的绘制，特别是关于边或三角形的两两交叉？

主要发现

• 对于任意在ℝᵈ中处于一般位置的(d+1)r个点，总存在一种划分为r个大小为d+1的子集的方式，使得它们的凸包共享一个公共点，且两两边界交集非空。
• 在平面上，任意处于一般位置的n个点均包含⌊n/3⌋个顶点互不相交、两两交叉的三角形，该结果为最优，优于先前的⌊n/6⌋界。
• 该结果可推广至d维单形：任意在ℝᵈ中处于一般位置的n个点均包含⌊n/(d+1)⌋个顶点互不相交、两两交叉的d-单形。
• 本文表明，更强的条件（如3维中2-面的链接）无法保证，通过构造一个含8个点的反例，其中两个不相交的四面体均包含原点但无链接面。
• 寻找此类交叉Tverberg划分的计算复杂性仍为开放问题，尽管该问题属于PPAD ∩ PLS，且尚未发现多项式时间算法。
• 本文为将结果推广至完全图的伪线性与简单图绘制提供了理论基础，但完整推广仍为开放问题。