[论文解读] The Curse of Medium Dimension for Geometric Problems in Almost Every Norm.

Roee David, C. S. Karthik+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 62被引用 5

一句话总结

本文在中等维度 $d = \Theta(\log N)$ 下，针对基本几何问题——最近点对、直径和欧几里得最小生成树——在 $\ell_p$-范数下建立了亚二次时间下界。通过基于强指数时间假设（SETH）的 SAT 问题归约，证明了对于这些问题，不存在 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-时间算法，从而揭示了几乎所有 $\ell_p$-范数下的‘中等维度诅咒’。

ABSTRACT

Given a point-set, finding the Closest Pair of points in the set, determining its Diameter, and computing a Euclidean Minimum Spanning Tree are amongst the most fundamental problems in Computer Science and Computational Geometry. In this paper, we study the complexity of these three problems in medium dimension, i.e., dimension $d=\Theta(\log N)$, and for various $\ell_p$-norms. We show a reduction from SAT to these geometric problems in medium dimension, thus showing that these problems have no subquadratic-time algorithm, i.e., no $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-time algorithm for any $\varepsilon>0$, under the Strong Exponential-Time Hypothesis (SETH). In particular, under SETH we prove the following results: $\bullet$ For every $p\geq 0$, there is no subquadratic-time algorithm for the Diameter problem, in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$. $\bullet$ There is no subquadratic-time algorithm for the Euclidean Minimum Spanning Tree problem in dimension $d=\Theta(\log N)$. $\bullet$ For every $p\in \mathbb{R}_{>2}\cup \{\infty\}$, there is no subquadratic-time algorithm for the Closest Pair problem in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$. Additionally, we prove a subquadratic lower bound for a generalization of the Closest Pair problem, namely the Set Closest Pair problem for all norms $\ell_p$, $p\in\mathbb{R}_{\geq 1}\cup\{\infty\}$. Many of our proofs go through a reduction from the Bichromatic Closest Pair problem; we prove that for every $p\in\mathbb{R}^+\cup \{\infty\}$, there is no subquadratic-time algorithm for the Bichromatic Closest Pair problem in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$, extending a result by Alman and Williams [FOCS 2015]. To show certain limitations of our techniques, we also prove a Point-Set Separation lemma for the $\ell_2$-norm, which might be of independent interest.

研究动机与目标

• 研究在 $d = \Theta(\log N)$ 的中等维空间中基本几何问题的计算复杂性。
• 确定在中等维下，最近点对、直径和欧几里得最小生成树问题是否存在亚二次时间算法。
• 将现有关于双色最近点对问题的困难性结果扩展到标准最近点对及相关问题，覆盖所有 $\ell_p$-范数。
• 建立一个适用于中等维下各种范数的几何问题的一般性下界框架。
• 通过证明 $\ell_2$-范数下的点集分离引理，揭示当前技术的局限性，该引理可能在主结果之外也具有应用价值。

提出的方法

• 将布尔可满足性问题（SAT）归约到中等维下的几何问题，以建立条件性下界。
• 采用强指数时间假设（SETH）作为复杂性假设，以排除亚二次时间算法的存在。
• 利用双色最近点对问题的归约，证明标准最近点对和集合最近点对问题的困难性。
• 应用与范数相关的几何分析，以处理所有 $\ell_p$-范数，包括 $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$ 和 $p=2$。
• 提出 $\ell_2$-范数下的点集分离引理，以分析归约技术的结构性局限性。
• 通过从最近点对问题的归约，将困难性结果推广到欧几里得最小生成树问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当维度 $d = \Theta(\log N)$ 时，在 $\ell_p$-范数下，直径问题是否存在亚二次时间算法？
• RQ2 在中等维度下，对于 $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$，最近点对问题是否能在 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$ 时间内求解？
• RQ3 在所有 $\ell_p$-范数下，集合最近点对问题在中等维度下是否具有亚二次时间算法？
• RQ4 双色最近点对问题能否作为中等维下标准几何问题的困难性锚点？
• RQ5 当前归约技术在中等维几何中的局限性是什么，特别是针对 $\ell_2$-范数？

主要发现

• 在 SETH 下，当 $d = \Theta(\log N)$ 时，对于任意 $p \geq 0$，直径问题在 $\ell_p$-范数下不存在 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-时间算法。
• 在 SETH 下，当维度 $d = \Theta(\log N)$ 时，欧几里得最小生成树问题不存在亚二次时间算法。
• 对于所有 $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$，在中等维 $d = \Theta(\log N)$ 下，最近点对问题不存在 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-时间算法。
• 在 SETH 下，对于所有 $\ell_p$-范数 $p \in \mathbb{R}_{\geq 1} \cup \{\infty\}$，集合最近点对问题在中等维下不存在亚二次时间算法。
• 双色最近点对问题在所有 $p \in \mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$ 下也是困难的，扩展了 Alman 和 Williams 的先前结果。
• 证明了 $\ell_2$-范数下的点集分离引理，该引理可能具有独立兴趣，并揭示了归约框架的内在局限性。