[论文解读] The cut locus and distance function from a closed subset of a Finsler manifold

Minoru Tanaka, Sorin V. Sabău|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用 22

一句话总结

本文建立了二维Finsler流形中闭子集的切点集的结构定理，证明其为由可数多条可求长的约当弧组成的局部树，且其内在拓扑与诱导拓扑一致。此外，通过N-线段的数量刻画了距离函数的可微性，将黎曼几何中的已知结果推广至非可逆Finsler几何。

ABSTRACT

We characterize the differentiable points of the distance function from a closed subset $N$ of an arbitrary dimensional Finsler manifold in terms of the number of $N$-segments. In the case of a 2-dimensional Finsler manifold, we prove the structure theorem of the cut locus of a closed subset $N$, namely that it is a local tree, it is made of countably many rectifiable Jordan arcs except for the endpoints of the cut locus and that an intrinsic metric can be introduced in the cut locus and its intrinsic and induced topologies coincide. We should point out that these are new results even for Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 通过连接点与闭子集N的N-线段数量，刻画任意维Finsler流形中闭子集距离函数的可微性。
• 建立二维Finsler流形中闭子集切点集的结构定理。
• 证明切点集为局部树，并具有与诱导拓扑一致的内在度量。
• 将黎曼几何中的已知结果推广至Finsler几何，特别是非可逆度量情形。
• 通过分析距离函数的奇异集，为最优控制与传输问题提供基础工具。

提出的方法

• 通过连接点与闭子集N的N-线段数量刻画距离函数 $ d_N $ 的可微性。
• 利用N-线段（即从N出发最小化距离的测地线段）的概念，分析临界点与切点。
• 通过证明每个点均存在一个邻域，使得其中任意两点由唯一弧连接，从而证明切点集 $ C_N $ 为局部树。
• 应用一元连续函数的Sard定理，证明 $ d_N imes c $ 沿 $ C_N $ 中约当弧的临界值集合测度为零。
• 运用Gromov同伦引理及Finsler度量的性质，分析 $ d_N $ 沿切点集中单位速度约当弧的行为。
• 证明对几乎所有 $ t $，$ d_N^{-1}(t) $ 是不相交连续曲线的并集，且每一点至多有两条N-线段。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Finsler流形中闭子集的距离函数是可微的？
• RQ2 二维Finsler流形中闭子集的切点集具有何种拓扑与几何结构？
• RQ3 能否在切点集上赋予内在度量，且其内在拓扑与诱导拓扑是否一致？
• RQ4 N-线段的数量如何与距离函数的可微性相关？
• RQ5 黎曼流形中关于切点集的结果在多大程度上可推广至非可逆Finsler流形？

主要发现

• 二维Finsler流形中闭子集 $ N $ 的切点集为局部树，即每个点均存在一个邻域，使得其中任意两点由唯一弧连接。
• 切点集由可数多条可求长的约当弧组成，端点除外。
• 可在切点集上引入内在度量，且其内在拓扑与诱导拓扑一致。
• 对几乎所有 $ t \notin \text{测度为零的集合 } \tilde{\cal E} $，水平集 $ d_N^{-1}(t) $ 是不相交连续曲线的并集。
• 任意满足 $ q \notin N $ 且 $ d_N(q) \notin \tilde{\cal E} $ 的点均非临界点，且至多有两条N-线段。
• 该结果推广了已知的黎曼结构定理，即使在黎曼情形也属新结果，尤其对非可逆Finsler结构而言。