[论文解读] The cycle structure of compositions of random involutions

Michael Lugo|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文研究对称群 $S_n$ 中两个随机对合的复合的循环结构，表明此类复合通常具有约 $\sqrt{n}$ 个长度为 $\sqrt{n}$ 的循环，而无不动点的对合则产生 $\log n$ 个循环。通过图论模型推导出指数生成函数，并证明将随机排列分解为两个对合的方式数渐近服从对数正态分布，其中中位数接近 $\exp((\log n)^2/2)$，表明其分布与均匀分布显著不同。

ABSTRACT

In this article we consider the cycle structure of compositions of pairs of involutions in the symmetric group S_n chosen uniformly at random. These can be modeled as modified 2-regular graphs, giving rise to exponential generating functions. A composition of two random involutions in S_n typically has about n^(1/2) cycles, and the cycles are characteristically of length n^(1/2). Compositions of two random fixed-point-free involutions, on the other hand, typically have about log n cycles and are closely related to permutations with all cycle lengths even. The number of factorizations of a random permutation into two involutions appears to be asymptotically lognormally distributed, which we prove for a closely related probabilistic model. This study is motivated by the observation that the number of involutions in [n] is (n!)^(1/2) times a subexponential factor; more generally the number of permutations with all cycle lengths in a finite set S is n!^(1-1/m) times a subexponential factor, and the typical number of k-cycles is nearly n^(k/m)/k. Connections to pattern avoidance in involutions are also considered.

研究动机与目标

• 理解 $S_n$ 中随机对合 $\sigma, \tau$ 的复合 $\tau \circ \sigma$ 的循环结构。
• 使用双色图对这类复合进行建模，并推导指数生成函数。
• 分析随机对合复合中循环数与长度的分布。
• 研究将一个排列分解为两个对合的方式数的渐近分布。
• 探索对合、循环类型与模式避免排列之间的联系。

提出的方法

• 将对合表示为部分匹配，其复合表示为具有路径和环的双色图。
• 使用多变量指数生成函数编码循环结构与分量类型。
• 应用鞍点法与渐近分析，推导循环的期望数量及其长度分布。
• 将因子分解数建模为循环类型的乘积，从而导出对数正态极限定理。
• 利用李雅普诺夫中心极限定理证明 $\log F(\pi)$（即因子分解数的对数）的渐近正态性。
• 建立因子分解与标记图循环之间的双射，以计数所有循环长度为偶数的排列的因子分解数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S_n$ 中，两个随机对合的复合中，循环的典型数量与长度分布是什么？
• RQ2 当对合被限制为无不动点时，循环结构如何变化？
• RQ3 将随机排列分解为两个对合的方式数的渐近分布是什么？
• RQ4 此类因子分解的数量如何与排列的循环类型相关？
• RQ5 因子分解数与对数正态极限行为之间有何联系？

主要发现

• 对于随机对合 $\sigma, \tau$，复合 $\tau \circ \sigma$ 的平均循环数为 $\sqrt{n} + \frac{1}{2}\log n + O(1)$。
• 对于无不动点的对合，循环数渐近服从正态分布，均值为 $\log n$，方差为 $2\log n$。
• 将随机排列分解为两个对合的方式数渐近服从对数正态分布，其中位数接近 $\exp\left(\frac{1}{2}(\log n)^2\right)$。
• 因子分解的期望数量渐近为 $\frac{e^{2\sqrt{n}}}{\sqrt{8\pi e n}}(1+o(1))$。
• 对于所有循环长度均为偶数的排列，其分解为无不动点对合的方式数为 $\prod_{k=1}^n (c_k - 1)!! \, k^{c_k/2}$，其中 $c_k$ 表示 $k$-循环的数量。
• 所有 $c_k$ 均为偶数的排列（即此类因子分解存在的排列）所占比例为 $\Theta(n^{-2})$。