[论文解读] The cyclotomic BMW algebra associated with the two string type B braid group

Stewart Wilcox, Shona Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文为与二绳型B braid群相关的分圆BMW代数 $ \mathscr{B}_{2}^{k} $ 提供了完整的基和正则表示。通过构造一个秩为 $ k $ 的模 $ V $，并在参数满足显式的可接受条件时证明其自由性，作者确立了 $ \mathscr{B}_{2}^{k} $ 是秩为 $ 3k^2 $ 的自由 $ R $-模，其显式基为 $ \{Y^i e Y^j, Y^i X Y^j, X Y^i X Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $，填补了先前工作的空白，并表明这些条件在一般情况下对自由性而言是必要且充分的。

ABSTRACT

The cyclotomic Birman-Murakami-Wenzl (or BMW) algebras B_n^k, introduced by R. Haring-Oldenburg, are extensions of the cyclotomic Hecke algebras of Ariki-Koike, in the same way as the BMW algebras are extensions of the Hecke algebras of type A. In this paper we focus on the case n=2, producing a basis of B_2^k and constructing its left regular representation.

研究动机与目标

• 为解决Häring-Oldenburg（2006）关于二绳分圆BMW代数 $ \mathscr{B}_2^k $ 自由性的不完整证明提供补全。
• 推导出代数参数的显式可接受条件，以确保 $ \mathscr{B}_2^k $ 为预期秩 $ 3k^2 $ 的自由模。
• 通过秩为 $ k $ 的模 $ V $ 构造 $ \mathscr{B}_2^k $ 的左正则表示，并证明显式 $ R $-基的存在性。
• 证明所推导的可接受条件对所有 $ n $ 而言，均为 $ \mathscr{B}_n^k $ 达到预期秩的必要且充分条件。

提出的方法

• 将 $ \mathscr{B}_2^k(R) $ 定义为由 $ Y^{\pm1}, X^{\pm1}, e $ 生成的单位结合 $ R $-代数，其关系包括 $ Y^k = \sum_{i=0}^{k-1} q_i Y^i $ 以及涉及 $ X $、$ e $ 和 $ Y $ 的辫子型关系。
• 构造一个秩为 $ k $ 的 $ \mathscr{B}_2^k $-模 $ V = \langle Y^i e \mid 0 \leq i \leq k-1 \rangle $，并通过显式公式定义其在基元素上的作用。
• 定义映射 $ \phi: \mathscr{B}_2^k \to \Xi = V \otimes_R V $ 为 $ a \mapsto a \kappa $，其中 $ \kappa = X^{-1} u_{00} $，并证明 $ \phi $ 是 $ \mathscr{B}_2^k $-模同构。
• 利用同构 $ \phi $ 将 $ \Xi $ 的 $ R $-基上拉至 $ \mathscr{B}_2^k $ 的 $ R $-基，其显式形式为 $ \{Y^i e Y^j, Y^i X Y^j, X Y^i X Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $。
• 通过要求 $ V $ 为秩 $ k $ 的自由模且模同态 $ \phi $ 为单射，推导出参数 $ q_i, A_m, \lambda, q $ 的可接受条件。
• 证明所推导的可接受条件对 $ \mathscr{B}_2^k $ 为秩 $ 3k^2 $ 的自由模而言是必要且充分的，并且这些条件可确保对所有 $ n $，$ \mathscr{B}_n^k $ 均为预期秩 $ k^n (2n-1)!! $ 的自由模。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种精确参数条件下，分圆BMW代数 $ \mathscr{B}_2^k $ 为秩 $ 3k^2 $ 的自由模？
• RQ2 如何通过模论方法显式构造 $ \mathscr{B}_2^k $ 的左正则表示？
• RQ3 在 $ \mathscr{B}_2^k $ 中由 $ e $ 生成的双边理想具有何种结构？其与模 $ V $ 的关系如何？
• RQ4 为 $ \mathscr{B}_2^k $ 推导出的可接受条件是否对所有 $ n $ 而言，均为 $ \mathscr{B}_n^k $ 自由性的必要且充分条件？
• RQ5 在所推导的参数条件下，$ \mathscr{B}_2^k $ 的基能否被显式描述，并证明其线性无关性？

主要发现

• 分圆BMW代数 $ \mathscr{B}_2^k(R) $ 是秩 $ 3k^2 $ 的自由 $ R $-模，当且仅当参数满足所推导的可接受条件。
• 显式给出 $ \mathscr{B}_2^k(R) $ 的 $ R $-基为 $ \{Y^i e Y^j, Y^i X Y^j, X Y^i X Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $，并证明其线性无关且张成整个代数。
• 由 $ e $ 生成的双边理想是自由 $ R $-模，其基为 $ \{Y^i e Y^j \mid 0 \leq i,j \leq k-1\} $，且同构于 $ k $ 个秩为 $ k $ 的模 $ V $ 的直和。
• 可接受条件对 $ \mathscr{B}_2^k(R) $ 为秩 $ 3k^2 $ 的自由模而言是必要且充分的，且这些条件可确保对所有 $ n $，$ \mathscr{B}_n^k(R) $ 为预期秩 $ k^n (2n-1)!! $ 的自由模。
• $ \mathscr{B}_2^k(R) $ 的左正则表示通过同构 $ \phi: \mathscr{B}_2^k \to V \otimes_R V $ 构造，其中 $ V $ 是秩为 $ k $ 的 $ \mathscr{B}_2^k $-模，且该同构被证明是 $ \mathscr{B}_2^k $-模同构。
• 所推导的可接受条件为最一般形式：若 $ \mathscr{B}_2^k $ 为秩 $ 3k^2 $ 的自由模，则参数必须满足这些条件，如引理 4.5 中四个关键命题的等价性所证明。