[论文解读] The d-separation criterion in Categorical Probability

T. A. Fritz, Andreas Klingler|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于马尔可夫范畴的因果建模范畴框架，通过弦图中的拓扑连通性定义了一种类 d-分离的新概念。它证明了一个抽象的 d-分离准则，通过马尔可夫范畴中的条件，建立了在多种设定（包括概率性、确定性和可能性网络）下因果相容性与条件独立性之间的等价性。

ABSTRACT

The d-separation criterion detects the compatibility of a joint probability distribution with a directed acyclic graph through certain conditional independences. In this work, we study this problem in the context of categorical probability theory by introducing a categorical definition of causal models, a categorical notion of d-separation, and proving an abstract version of the d-separation criterion. This approach has two main benefits. First, categorical d-separation is a very intuitive criterion based on topological connectedness. Second, our results apply both to measure-theoretic probability (with standard Borel spaces) and beyond probability theory, including to deterministic and possibilistic networks. It therefore provides a clean proof of the equivalence of local and global Markov properties with causal compatibility for continuous and mixed random variables as well as deterministic and possibilistic variables.

研究动机与目标

• 将经典的 d-分离准则从标准概率空间推广到包括确定性和可能性系统在内的更广泛领域。
• 使用自由马尔可夫范畴和弦图，在范畴框架中形式化因果模型。
• 基于移除导线后的拓扑不连通性，定义一种范畴化的 d-分离准则。
• 证明：当 d-分离成立时，在任意具有条件的马尔可夫范畴中，因果相容性与条件独立性等价。
• 在单一抽象框架下统一处理离散、连续和高斯变量。

提出的方法

• 使用自由马尔可夫范畴，从基本态射（方框）和导线（变量）构建因果模型，形成弦图。
• 将范畴化的 d-分离定义为：移除对应于一组变量的导线后，图被断开。
• 利用马尔可夫范畴中条件的结构假设，实现输出的顺序生成，推广了条件概率的因子分解。
• 应用局部马尔可夫性质，从 d-分离条件推导出条件独立性陈述。
• 证明：一个态射与因果结构相容，当且仅当它满足由 d-分离所隐含的条件独立关系。
• 在示例中验证了该框架，包括工具变量、反馈回路以及 FinSet 中的确定性映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 d-分离能否被推广到标准贝叶斯网络和标准概率空间之外，以涵盖确定性和可能性系统？
• RQ2 是否存在一种范畴化的 d-分离定义，使其在概率情形下退化为经典 d-分离？
• RQ3 在测度论概率之外的马尔可夫范畴中，d-分离与因果相容性之间的等价性是否仍然成立？
• RQ4 同一范畴框架能否统一处理混合变量（离散、连续、高斯）？
• RQ5 条件在抽象马尔可夫范畴中证明 d-分离准则时起到什么作用？

主要发现

• 本文建立了范畴化的 d-分离准则，该准则在任意具有条件的马尔可夫范畴中与因果相容性等价。
• 范畴化的 d-分离完全基于拓扑连通性定义：若移除对应变量的导线后图被断开，则该组变量为 d-分离。
• 该框架在单一准则下统一处理了离散、连续和高斯变量，并证明了在所有情况下局部马尔可夫性质与全局马尔可夫性质等价。
• 在工具变量情形下，该准则重现了已知条件：X ⊥B∣A,Λ 和 X ⊥Λ，这对应于联合密度的因子分解。
• 在确定性设定（如 FinSet）中，局部马尔可夫性质通过存在函数 g, h, k 使得 z = g(c)，x = h(a,z)，y = k(b,z) 推出因果相容性。
• 该框架允许在图中多次使用同一因果机制（方框），推广了标准 DAG，后者并未内在支持此类重用。