[论文解读] The dealternating number and the alternation number of a closed 3-braid

Tetsuya Abe, Kengo Kishimoto|ArXiv.org|Aug 5, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 6

一句话总结

该论文为闭3-辫子的去交错数建立了上界，并将其应用于计算特定正3-辫子族（包括某些扭结）的去交错数、交错数和图叶夫 genus。论文证明了存在无穷多组具有任意指定去交错数、交错数和辫子指数的正扭结。

ABSTRACT

We give an upper bound for the dealternating number of a closed 3-braid. As applications, we determine the dealternating numbers, the alternation numbers and the Turaev genera of some closed positive 3-braids. We also show that there exist infinitely many positive knots with any dealternating number (or any alternation number) and any braid index.

研究动机与目标

• 通过辫子词结构和音节分解，为闭3-辫子的去交错数建立上界。
• 针对具有特定辫子词形式的一类正闭3-辫子，确定其去交错数和交错数。
• 计算某些(3,3n+i)-扭结的图叶夫 genus。
• 证明对于任意给定的去交错数、交错数和辫子指数，存在无穷多组正扭结。

提出的方法

• 将去交错数定义为使链路图变为交错图所需的最少交叉点改变数。
• 利用3-辫子的音节分解（按奇偶索引的正负半扭转）推导出去交错数的上界。
• 应用先前工作中得到的交错数下界，计算特定正3-辫子的精确值。
• 通过图叶夫曲面构造和亏格最小化，计算(3,3n+i)-扭结的图叶夫 genus。
• 应用结片分解和有理结片求和技术，分析蒙特斯inos和半交错链路。
• 通过结片图的归纳法和形变规则，证明蒙特斯inos和半交错链路是几乎交错的。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭3-辫子的去交错数的上界是什么？
• RQ2 对于形式为Δ²ⁿ∏σ₁ᵖⁱσ₂^{qⁱ}的正闭3-辫子，其去交错数和交错数的精确值是多少？
• RQ3 对于i=1,2，(3,3n+i)-扭结的图叶夫 genus 是多少？
• RQ4 是否存在无穷多组具有任意指定去交错数、交错数和辫子指数的正扭结？
• RQ5 所有非交错的蒙特斯inos链路和半交错链路是否都是几乎交错的？

主要发现

• 对于形式为Δ²ⁿ∏σ₁ᵖⁱσ₂^{qⁱ}且pᵢ,qᵢ≥2的闭3-辫子β，其去交错数恰好为n+r−1。
• 此类β的交错数也为n+r−1，因此alt(β̂) = dalt(β̂) = n+r−1。
• (3,3n+i)-扭结T₃,₃ₙ₊ᵢ的图叶夫 genus 为n，与其中的去交错数一致。
• 对于任意m≥0和n≥3，存在无穷多组正扭结，使得alt(K)=dalt(K)=m且b(K)=n。
• 通过结片求和和图的形变，已证明所有非交错的蒙特斯inos链路和半交错链路都是几乎交错的。
• 闭3-辫子的去交错数的上界为min{|E₊|+|O₋|, |E₋|+|O₊|}，其中E₊, O₋等为基于索引和符号的音节集合。