[论文解读] The decycling numbers of graphs

Sheng Bau, Lowell W. Beineke|ArXiv.org|Mar 19, 2007

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文全面综述了图的退化数——即删除后使图变为无环的最小顶点集合的大小——提供了界限、特定图类（如超立方体、网格和蛇形图）的确切值，以及结构表征。主要贡献包括该问题的NP-完全性证明、n维超立方体的紧致界限，以及与图连通性及编码理论的关联。

ABSTRACT

For a graph $G$ and $S\subset V(G)$, if $G - S$ is acyclic, then $S$ is said to be a decycling set of $G$. The size of a smallest decycling set of $G$ is called the decycling number of $G$. The purpose of this paper is a comprehensive review of recent results and several open problems on this graph parameter. Results to be reviewed include recent work on decycling numbers of cubes, grids and snakes. A structural description of graphs with a fixed decycling number based on connectivity is also presented. Graphs with small decycling numbers are characterized.

研究动机与目标

• 系统综述图的退化数的近期成果与开放问题。
• 确定特定图族（如超立方体、网格和蛇形图）的退化数的确切值与紧致界限。
• 利用连通性与结构特性表征退化数固定的图。
• 探讨算法与计算挑战，特别是该问题的NP-完全性。
• 建立退化数与其他图参数（如独立数与覆盖数）之间的联系。

提出的方法

• 使用退化集S的定义，使得G−S为无环图，其中∇(G)表示此类集合的最小大小。
• 应用公式∇(G) ≥ (q−p+1)/(Δ−1)，适用于具有q条边、p个顶点和最大度Δ的连通图。
• 采用外延函数θ(S) = σ(S) − |S| − ε(S) − ω(G−S) + 1来表征退化集，且对任意退化集均有θ(S) = q−p+1。
• 利用图运算，如笛卡尔积G×H和顶点合并H∘fJ，构造具有已知退化数的图。
• 采用结构分解，包括将满足∇(G)=k的图表征为通过(k+1)-连通方式将k个顶点集连接到一棵树上所得的图。
• 基于连通性与树分量，采用递归与归纳构造方法，构建退化数较小的图（如∇(G)=2或3）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n ≥ 9的n维超立方体(Qn)，其确切的退化数是多少？
• RQ2 哪些阶为2n的立方图G满足∇(G) = ⌈(n+1)/2⌉？
• RQ3 哪些立方平面图满足相同的界限？
• RQ4 是否存在快速算法用于计算最大外平面图或二维树的退化数？
• RQ5 退化数与图连通性之间存在何种关系，特别是对于满足∇(G)=k的图？

主要发现

• 对于n ≤ 8，n维超立方体的退化数已精确确定：∇(Q1)=0，∇(Q2)=1，∇(Q3)=3，∇(Q4)=6，∇(Q5)=14，∇(Q6)=28，∇(Q7)=56，∇(Q8)=112。
• 对于Q9至Q13，本文提供了改进的界限：∇(Q9) ∈ [224, 312]，∇(Q10) ∈ [448, 606]，∇(Q11) ∈ [896, 1184]，∇(Q12) ∈ [1792, 2224]，∇(Q13) ∈ [3584, 4680]。
• 彼得森图的退化数恰好为3。
• 对于完全图，有∇(Kp) = p−2；对于完全二部图Kr,s（其中r ≤ s），有∇(Kr,s) = r−1。
• 细胞大小为4的蛇形图的退化数恰好为⌊n/3⌋，其他细胞大小的结果通过变换推导得出。
• 对于阶为n的最大外平面图，退化数满足1 ≤ ∇(G) ≤ ⌊n/3⌋。