[论文解读] The deformation of symplectic critical surfaces in a Kähler surface-I

Xiaoli Han, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了凯勒曲面上的 $\beta$-辛临界曲面，即泛函 $L_{\beta} = \int_\Sigma \frac{1}{\cos^\beta \alpha} \, d\mu$ 在辛曲面上的临界点。推导出欧拉-拉格朗日方程 $\cos^3\alpha \, \mathbf{H} = \beta (J(J\nabla\cos\alpha)^\top)^\bot$，证明了存在严格稳定解的 $\beta$ 集合是开集，并建立了旋转对称情形下的存在性与唯一性结果，以及在二次面积增长条件下关于完备曲面的利乌ville型定理。

ABSTRACT

In this paper we derive the Euler-Lagrange equation of the functional $L_β=\int_Σ\frac{1}{\cos^βα}dμ, ~~β eq -1$ in the class of symplectic surfaces. It is $\cos^3α{\bf{H}}=β(J(J abla\cosα)^ op)^\bot$, which is an elliptic equation when $β\geq 0$. We call such a surface a $β$-symplectic critical surface. We first study the properties for each fixed $β$-symplectic critical surface and then prove that the set of $β$ where there is a stable $β$-symplectic critical surface is open. We believe it should be also closed. As a precise example, we study rotationally symmetric $β$-symplectic critical surfaces in ${\mathbb C}^2$ carefully .

研究动机与目标

• 定义并分析凯勒曲面上辛曲面类中泛函 $L_\beta = \int_\Sigma \cos^{-\beta}\alpha \, d\mu$ 的 $\beta$-辛临界曲面。
• 推导 $L_\beta$ 的欧拉-拉格朗日方程，证明当 $\beta \geq 0$ 时其为椭圆型，并研究此类曲面的几何与分析性质。
• 启动连续性方法程序，通过 $\beta$-辛临界曲面将极小曲面（$\beta = 0$）形变为全纯曲线（$\beta \to \infty$）。
• 在 $\mathbb{C}^2$ 中建立旋转对称 $\beta$-辛临界曲面的存在性与唯一性结果，并在二次面积增长条件下证明一个利乌ville型定理。

提出的方法

• 通过泛函的变分法推导 $L_\beta$ 的欧拉-拉格朗日方程，得到 $\cos^3\alpha \, \mathbf{H} = \beta (J(J\nabla\cos\alpha)^\top)^\bot$，当 $\beta = 0$ 时退化为极小曲面方程。
• 证明当 $\beta \geq 0$ 时，该方程模切向微分同胚为椭圆型，确保良好的分析行为。
• 建立 $L_\beta$ 的二阶变分公式以分析解的稳定性，导出在正数量曲率与拓扑条件下的全纯性判别准则。
• 利用 White 关于雅可比算子弗雷德霍姆性质的定理及隐函数定理，证明存在严格稳定 $\beta$-辛临界曲面的 $\beta$ 集合在 $[0, \infty)$ 中是开集。
• 通过将问题约化为径向函数 $f(r), g(r)$ 的常微分方程组，分析 $\mathbb{C}^2$ 中旋转对称解的性质，并研究其渐近行为。
• 通过证明 $1/\cos\alpha$ 的有界性与二次面积增长蕴含 $\cos\alpha$ 为常数，从而导出全纯性，建立一个利乌ville定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凯勒曲面上的辛曲面类中，泛函 $L_\beta = \int_\Sigma \cos^{-\beta}\alpha \, d\mu$ 的欧拉-拉格朗日方程是什么？对于哪些 $\beta$ 值该方程为椭圆型？
• RQ2 能否证明存在严格稳定 $\beta$-辛临界曲面的 $\beta$ 集合在 $[0, \infty)$ 中是开集？
• RQ3 在 $\mathbb{C}^2$ 中，旋转对称的 $\beta$-辛临界曲面是否存在？当 $\beta \to 0$ 时其行为如何？
• RQ4 在何种几何与分析条件下，$\mathbb{C}^2$ 中的完备 $\beta$-辛临界曲面会成为全纯曲面？
• RQ5 在二次面积增长与 $\cos\alpha$ 一致有界条件下，是否强制 $\mathbb{C}^2$ 中的完备 $\beta$-辛临界曲面为全纯曲面？

主要发现

• 泛函 $L_\beta$ 的欧拉-拉格朗日方程为 $\cos^3\alpha \, \mathbf{H} = \beta (J(J\nabla\cos\alpha)^\top)^\bot$，当 $\beta \geq 0$ 时为椭圆型，推广了辛临界曲面情形（$\beta = 1$）。
• 集合 $S = \{ \beta \in [0, \infty) \mid \text{存在严格稳定的 } \beta\text{-辛临界曲面} \}$ 在 $[0, \infty)$ 中为开集，该结论通过弗雷德霍姆理论与隐函数定理建立。
• 在 $\mathbb{C}^2$ 中，旋转对称的 $\beta$-辛临界曲面解族 $\Sigma_\beta^\pm$ 当 $\beta \to 0$ 时局部一致收敛于一个半双曲面，且在不稳定双曲面附近存在两个此类曲面。
• 若 $\mathbb{C}^2$ 中的完备旋转对称 $\beta$-辛临界曲面满足 $\cos\alpha \geq \delta > 0$，则其必为平面，否则 $\cos\alpha$ 在原点趋于零。
• 在二次面积增长与 $\cos\alpha \geq \delta > 0$ 条件下，$\mathbb{C}^2$ 中的完备 $\beta$-辛临界曲面必为某一致复结构下的全纯曲面，此由次调和性与抛物性所保证。