[论文解读] The Deformation Space of Calabi-Yau n-folds with canonical singularities can be obstructed

Mark Gross|ArXiv.org|Feb 25, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 16

一句话总结

本文通过构造一个反例，证明具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的形变空间可能是受阻的。具体而言，构造了一个卡拉比-丘 $n$-流形 $X$，它位于两个不同族的交集中：一个是光滑卡拉比-丘 $n$-流形的族，另一个是具有终端奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的族。由此证明在点 $X$ 处的库兰希空间是奇异的，因此形变理论是受阻的。

ABSTRACT

This paper gives a simple example of a family of Calabi-Yaus of any dimension with canonical singularities of dimension one, whose Kuranishi space is singular. Thus the Bogomolov-Tian-Todorov unobstructedness theorem is not true for Calabi-Yaus with canonical singularities.

研究动机与目标

• 研究具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的形变空间是否如对更轻微奇点的情形一样是无受阻的。
• 提供一个反例，以反驳‘典范奇点总是导致无受阻形变理论’的猜想。
• 证明此类卡拉比-丘 $n$-流形的模空间在某些点可能是不可约的且奇异的。
• 建立具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的库兰希空间可以是奇异的，从而表明形变理论是受阻的。

提出的方法

• 利用射影丛 $P_1 = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus(n+1)})$ 和 $P_2 = \mathbb{P}(\mathcal{E})$ 构造两个不同的卡拉比-丘 $n$-流形族，其中 $\mathcal{E} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus(n-1)} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$。
• 将卡拉比-丘 $n$-流形定义为 $H^0(\omega_{P_i}^{-1})$ 中截面的零点集，其中一般 $s$ 对应的 $X_1(s)$ 是光滑的，而 $X_2(s)$ 沿曲线 $C \subset P_2$ 具有典范奇点。
• 通过一个短正合列诱导的 $S^{n+1}\mathcal{E}$ 上的滤子，分析层上同调，并构造一个子空间 $V \subset H^0(\omega_{P_2}^{-1})$，其元素对应的截面产生典范奇点。
• 通过 $T = \mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上的通用扩张丛 $\mathcal{F}$ 构造一个平坦族 $\mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$，使得 $\mathcal{X}_1$ 光滑，且 $\mathcal{X}_0 = X_2(s)$ 对于 $s \in V$。
• 应用格劳尔特定理，并分析限制映射 $\phi_x$，证明 $\phi_0$ 的像恰好为 $V$，从而确保 $X_2(s)$ 与一个光滑卡拉比-丘 $n$-流形形变等价。
• 最终通过引理 2.1 得出结论：在 $X_2(s)$ 处库兰希空间是奇异的，从而证明形变理论是受阻的。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的形变空间是否无受阻？
• RQ2 一个具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形是否可以位于两个不同卡拉比-丘 $n$-流形族的交集中？
• RQ3 若模空间中存在此类点，是否意味着形变理论是受阻的？
• RQ4 具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的库兰希空间是否可能奇异？
• RQ5 是否存在一个形变族，能将一个具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形与一个光滑的卡拉比-丘 $n$-流形连接起来，同时保持卡拉比-丘条件？

主要发现

• 对于沿 $P_2$ 中曲线 $C$ 具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形 $X_2(s)$，其库兰希空间在 $X_2(s)$ 处是奇异的，从而证明形变理论是受阻的。
• 当 $n \geq 3$ 时，存在一个具有典范奇点的卡拉比-丘 $n$-流形 $X_2(s)$，它通过 $\mathbb{A}^1$ 上的平坦族形变等价于一个光滑卡拉比-丘 $n$-流形 $X_1(s')$。
• 通过通用扩张丛 $\mathcal{F}$ 构造的族 $\mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$ 满足 $\mathcal{X}_1 = X_1(s')$（光滑）且 $\mathcal{X}_0 = X_2(s)$（具有典范奇点）。
• 限制映射 $\phi_0$ 的像恰好为 $V = H^0(G^{n-1}(2))$，这对应于产生典范奇点的截面，从而确保该族连接了两种类型。
• 卡拉比-丘 $n$-流形的模空间在 $X_2(s)$ 处是不可约的，因为它位于两个不同分支的交集中：一个是光滑卡拉比-丘 $n$-流形的分支，另一个是具有终端奇点的卡拉比-丘 $n$-流形的分支。
• 当 $n=3$ 时，$X_2(s)$ 是非奇异的；但当 $n>3$ 时，$X_2(s)$ 沿 $C$ 具有 $\lfloor n/2 \rfloor$ 重奇点，但当 $s \in V$ 时仍具有典范奇点。