[论文解读] The deformation theory of representations of the fundamental group of a smooth variety

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文将单纯形形变复形（SDCs）应用于复数域与有限域上光滑代数簇的基本群表示的形变理论研究。证明了在正特征情况下，当相关层为零权纯层时，l-进表示形变函子的形变壳由次数至多为四的方程定义，通过弗罗贝尼乌斯等变性与韦伊II定理中的权滤子，将原本仅适用于紧致凯勒流形的结果推广至非完备及正特征情形。

ABSTRACT

Consider the functor describing deformations of a representation of the fundamental group of a variety X. This paper is chiefly concerned with establishing an analogue in finite characteristic of a result proved by Goldman and Millson for compact Kahler manifolds. By applying the Weil Conjectures instead of Hodge theory, we see that if X is a smooth proper variety defined over a finite field, and we consider deformations of certain continuous l-adic representations of the algebraic fundamental group, then the hull of the deformation functor will be defined by quadratic equations. Moreover, if X is merely smooth, then the hull will be defined by equations of degree at most four.

研究动机与目标

• 将戈德曼与米尔斯通关于凯勒流形二次形变壳结果，通过SDCs推广至非完备光滑复代数簇。
• 证明在正特征下，代数基本群的l-进表示形变壳具有有限型表示，其定义方程的次数至多为四。
• 通过‘权决定形变壳结构’的哲学，统一特征零与正特征情形的结果。
• 证明即使在非光滑簇上，形变壳上的混合霍奇结构也自然源自权滤子。
• 证明障碍映射的弗罗贝尼乌斯等变性可控制有限特征下形变壳的定义方程结构。

提出的方法

• 使用单纯形形变复形（SDCs）替代微分分次李代数（DGLAs），实现形变函子的直接构造。
• 通过万有覆叠，建立拓扑基本群表示与X上主G-层之间的等价关系。
• 将SDC构造应用于伴随丛$\mathrm{ad}\mathbb{B}_0$的上同调，将形变上同调识别为$\mathrm{H}^*(X, \mathrm{ad}\mathbb{B}_0)$。
• 利用障碍映射的弗罗贝尼乌斯等变性，将形变壳与具有相容弗罗贝尼乌斯作用的上同调群联系起来。
• 应用韦伊II定理（德尔加德）中的权滤子，对形变壳的定义方程次数进行有界。
• 将形变壳构造为幂级数环关于障碍映射$f: \mathrm{H}^2(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee \to \mathbb{Q}_l[[\mathrm{H}^1(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee]]$的像的商，同时保持弗罗贝尼乌斯分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑复代数簇的基本群表示的形变壳是否即使在簇不光滑时也携带混合霍奇结构？
• RQ2 在正特征下，l-进表示形变函子的形变壳的定义方程的最大次数是多少？
• RQ3 障碍映射的弗罗贝尼乌斯等变性在有限特征下如何约束形变壳的结构？
• RQ4 韦伊II定理中的权滤子在多大程度上控制形变壳的表示？
• RQ5 SDCs能否为此前通过DGLAs与群胚等价性建立的结果提供更简短、更直接的证明？

主要发现

• 即使在簇不光滑时，光滑复代数簇的基本群表示的形变函子的形变壳仍携带混合霍奇结构。
• 对于光滑复代数簇，由于霍奇II定理的权限制，形变壳由次数至多为四的方程定义。
• 在正特征下，若相关层$\widetilde{\mathrm{ad}(\rho_0)}$为零权纯层，则形变壳由齐次二次方程定义。
• 对于正特征下的光滑非完备簇，形变壳由次数至多为四的方程定义，此结果由障碍映射的权分解得出。
• 障碍映射$f: \mathrm{H}^2(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee \to \mathbb{Q}_l[[\mathrm{H}^1(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee]]$保持弗罗贝尼乌斯分解，从而可通过权滤子实现次数有界。
• 将形变壳构造为$\mathbb{Q}_l[[\mathrm{H}^1(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee]] / (f(\mathrm{H}^2(X,\mathrm{ad}\mathbb{B}_0)^\vee))$的形式，该构造保持弗罗贝尼乌斯等变性并尊重权滤子，从而导出次数有界。