[论文解读] The degenerate Heisenberg category and its Grothendieck ring

Jonathan Brundan, Alistair Savage+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文证明了在任意整数中心荷 $k \in \mathbb{Z}$ 下，退化海森堡范畴的加法卡鲁比包络的格罗滕迪克环同构于无限维海森堡李代数的通用包络代数的 $\mathbb{Z}$-形式，从而证实了科瓦诺夫的猜想，并将其推广至任意 $k$。证明通过弦图和 categorified 余乘法关系建立了该代数结构的 categorification。

ABSTRACT

The degenerate Heisenberg category $\mathcal{H}eis_k$ is a strict monoidal category which was originally introduced in the special case $k=-1$ by Khovanov in 2010. Khovanov conjectured that the Grothendieck ring of the additive Karoubi envelope of his category is isomorphic to a certain $\mathbb{Z}$-form for the universal enveloping algebra of the infinite-dimensional Heisenberg Lie algebra specialized at central charge $-1$. We prove this conjecture and extend it to arbitrary central charge $k \in \mathbb{Z}$. We also explain how to categorify the comultiplication (generically).

研究动机与目标

• 证明科瓦诺夫的猜想：在中心荷 $k = -1$ 时，退化海森堡范畴的加法卡鲁比包络的格罗滕迪克环同构于无限维海森堡李代数的通用包络代数的 $\mathbb{Z}$-形式。
• 将此同构关系推广至任意整数中心荷 $k \in \mathbb{Z}$，推广原始猜想。
• 在一般中心荷下，为通用包络代数 $U(\mathfrak{h})$ 的余乘法提供 categorification。
• 在 $k$-变形配对下，建立格罗滕迪克环与对称函数环之间的典范同构。
• 证明该范畴支持一个与张量结构和对偶结构相容的严格偏极化结构，并通过杨对称化子实现对象对施尔函数的 categorification。

提出的方法

• 将退化海森堡范畴 $\mathrm{Heis}_k$ 构造为一个严格 $k$-线性张量范畴，其生成元与关系基于通用包络代数 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ 的结构。
• 将格罗滕迪克环 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 定义为 $\mathrm{Heis}_k$ 的加法卡鲁比包络的分裂格罗滕迪克群，其乘法由张量积给出。
• 使用弦图演算表示态射，包括粗线、交叉、杯、盖和气泡，其关系源自对称函数与 $k$-变形配对。
• 建立环同态 $\gamma_k: \mathrm{Heis}_k \to K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$，将生成元映射为 categorified 施尔函数的类。
• 通过构造 categorified 对称函数张量积与按分拆及 $k$-有界分拆索引的直和之间的显式同构，证明 $\gamma_k$ 的满射性。
• 利用对合 $\Omega_k$ 和余元，关联 $k$ 与 $-k$ 的范畴，并通过归纳法与图示恒等式证明关键同构定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 $k \in \mathbb{Z}$ 下，退化海森堡范畴的加法卡鲁比包络的格罗滕迪克环是否同构于 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ 的 $\mathbb{Z}$-形式？
• RQ2 在 $\mathrm{Heis}_k$ 的背景下，$U(\mathfrak{h})$ 上的余乘法能否被 categorification？
• RQ3 $\mathrm{Heis}_k$ 范畴是否支持一个与张量结构和对偶结构相容的严格偏极化结构？
• RQ4 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 中的 categorified 施尔函数类 $[S^\pm_\lambda]$ 是否线性无关且生成该环？
• RQ5 同构 $\gamma_k$ 能否被扩展为包含余乘法与余元在内的 Hopf 代数结构的 categorification？

主要发现

• 格罗滕迪克环 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 同构于通用包络代数 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ 的 $\mathbb{Z}$-形式 $\mathrm{Heis}_k$，从而对所有 $k \in \mathbb{Z}$ 证实了科瓦诺夫的猜想。
• 同构 $\gamma_k: \mathrm{Heis}_k \to K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 是单射且满射的，满足 $s^\pm_\lambda \mapsto [S^\pm_\lambda]$，且 $[X] = 0$ 蕴含 $X = 0$ 在 $\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k)$ 中。
• 当 $k \geq 0$ 时，由图示列向量定义的态射 $\theta_{m,n}$ 给出 $H^+_m \otimes E^-_n$ 与 $\bigoplus_{r=0}^{\min(m,n)} \bigoplus_{\lambda \in P_{r,k}} E^-_{n-r} \otimes H^+_{m-r}$ 之间的典范同构，从而证明了格罗滕迪克环中的关键关系。
• 当 $k = l + m$ 时，余乘法 $\delta_{l|m}: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_l \otimes \mathrm{Heis}_m$ 通过范畴上的张量函子结构被 categorified，且具有显式的图示公式。
• 对合 $\Omega_k$ 与余元 $\sigma_k$ 满足 $\Omega_k: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_{-k}$ 与 $\sigma_k: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_{-k}^{\mathrm{op}}$，并保持 categorified 代数结构。
• 范畴 $\mathrm{Heis}_k$ 是严格偏极化的，对偶由弦图的 180 度旋转给出，且对象 $\mathbf{1}$ 与 $\mathbf{1}^*$ 互为对偶。