[论文解读] The Delta-Method and Influence Function in Medical Statistics: a Reproducible Tutorial

Rodrigo Zepeda‐Tello, Michael Schomaker+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2022

Statistical Methods in Clinical Trials被引用 6

一句话总结

本教程介绍了经典和函数型Delta方法以及影响函数（IF），用于医学统计中的方差估计，提供可复现的R和Python代码，用于计算风险比、相关系数和逻辑回归泛函等复杂估计量的标准误。它展示了即使在高维或非光滑设置下，IF也能实现稳健且渐近有效的推断，填补了流行病学家和生物统计学家在应用统计培训中的关键空白。

ABSTRACT

Approximate statistical inference via determination of the asymptotic distribution of a statistic is routinely used for inference in applied medical statistics (e.g. to estimate the standard error of the marginal or conditional risk ratio). One method for variance estimation is the classical Delta-method but there is a knowledge gap as this method is not routinely included in training for applied medical statistics and its uses are not widely understood. Given that a smooth function of an asymptotically normal estimator is also asymptotically normally distributed, the Delta-method allows approximating the large-sample variance of a function of an estimator with known large-sample properties. In a more general setting, it is a technique for approximating the variance of a functional (i.e., an estimand) that takes a function as an input and applies another function to it (e.g. the expectation function). Specifically, we may approximate the variance of the function using the functional Delta-method based on the influence function (IF). The IF explores how a functional $ϕ(θ)$ changes in response to small perturbations in the sample distribution of the estimator and allows computing the empirical standard error of the distribution of the functional. The ongoing development of new methods and techniques may pose a challenge for applied statisticians who are interested in mastering the application of these methods. In this tutorial, we review the use of the classical and functional Delta-method and their links to the IF from a practical perspective. We illustrate the methods using a cancer epidemiology example and we provide reproducible and commented code in R and Python using symbolic programming. The code can be accessed at https://github.com/migariane/DeltaMethodInfluenceFunction

研究动机与目标

• 解决应用医学统计学家和流行病学家在Delta方法和影响函数（IF）方面普遍缺乏培训的问题。
• 弥合理论渐近统计与现实医学研究中实际应用之间的差距。
• 提供全面的、基于实践的教程，附可复现代码，使用函数型Delta方法和IF计算复杂估计量的标准误。
• 展示基于IF的方法在现代统计问题中的实用性，包括因果推断中的高维和数据自适应估计。
• 支持在重采样不可行的场景下，采用稳健且渐近有效的推断方法，替代或补充自助法（bootstrap）。

提出的方法

• 使用一阶泰勒展开应用经典Delta方法，近似平滑函数的方差，该函数是渐近正态估计量的函数。
• 通过函数型Delta方法将Delta方法扩展至泛函，其中影响函数（IF）是方差估计的关键。
• 将影响函数定义为泛函对经验分布的导数，表示无穷小污染的影响。
• 在R和Python中使用符号编程，对各种估计量（包括风险比、相关系数和逻辑回归泛函）进行IF和标准误的解析推导。
• 通过经验影响函数实现插补估计量，直接从观测数据计算泛函的方差。
• 通过实例验证方法，包括一个涉及逻辑回归系数组合的癌症流行病学案例研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典Delta方法如何用于推导估计量函数（如风险比）的标准误？
• RQ2 基于影响函数的函数型Delta方法在处理分位数和相关系数等复杂泛函时，如何扩展经典方法？
• RQ3 在何种条件下经典Delta方法会失效？影响函数如何在这些情况下提供稳健的替代方案？
• RQ4 如何在R和Python中使用符号计算在实践中推导并实现影响函数？
• RQ5 在高维或数据自适应因果推断等场景中，IF方法为何在方差估计方面优于自助法？

主要发现

• 影响函数为一大类估计量（包括非线性和非光滑泛函）的渐近方差推导提供了通用框架。
• 基于IF的函数型Delta方法即使在经典Delta方法失效时，也能对复杂估计量（如相关系数和分位数函数）提供准确的标准误估计。
• 对于风险比，经典Delta方法产生的标准误与经验估计值非常接近，验证了其在标准流行病学应用中的适用性。
• 在非解析函数或不可微情况下，经典Delta方法失效，但基于IF的方法依然有效且可计算。
• 本教程表明，在高维或数据自适应设置中，IF-based方差估计器尤其占优，此时自助法在计算上不可行或不一致。
• 提供的R和Python代码支持Delta方法和基于IF的推断的可复现端到端实现，促进了其在应用医学研究中的采用。