[论文解读] The Delta square conjecture

Michele D’Adderio, Alessandro Iraci+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了广义Δ平方猜想，即关于对称函数 $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}\Delta_{h_m}\Delta_{e_{n-k}}\omega(p_n)$ 的组合公式，以带标签的偏标记方格路径为表达形式。该猜想推广了Loehr和Warrington的平方猜想以及广义Δ猜想，证明了包括 $q=0$ 特殊化和Schr"oder情形在内的特殊情形，从而推广了 $q,t$-平方定理。

ABSTRACT

We conjecture a formula for the symmetric function $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}Δ_{h_m}Δ_{e_{n-k}}ω(p_n)$ in terms of decorated partially labelled square paths. This can be seen as a generalization of the square conjecture of Loehr and Warrington (Loehr, Warrington 2007), recently proved by Sergel (Sergel 2017) after the breakthrough of Carlsson and Mellit (Carlsson, Mellit 2018). Moreover, it extends to the square case the combinatorics of the generalized Delta conjecture of Haglund, Remmel and Wilson (Haglund, Remmel, Wilson 2015), answering one of their questions. We support our conjecture by proving the specialization $m=q=0$, reducing it to the same case of the Delta conjecture, and the Schröder case, i.e. the case $\langle \cdot ,e_{n-d}h_d angle$. The latter provides a broad generalization of the $q,t$-square theorem of Can and Loehr (Can, Loehr 2006). We give also a combinatorial involution, which allows to establish a linear relation among our conjectures (as well as the generalized Delta conjectures) with fixed $m$ and $n$. Finally, in the appendix, we give a new proof of the Delta conjecture at $q=0$.

研究动机与目标

• 将Loehr和Warrington的平方猜想扩展至更广泛的对称函数与带标签方格路径的组合框架。
• 将Haglund、Remmel与Wilson的广义Δ猜想推广至方格路径设定。
• 解决[Haglund-Remmel-Wilson-2015]中关于广义Δ猜想在方格路径模型中的组合学开放问题。
• 通过在带标签方格路径上引入新的组合对合，建立猜想之间的线性关系。
• 给出$ q=0 $情形下Δ猜想的新证明，增强自包含性并具有潜在的独立研究价值。

提出的方法

• 提出一个新的对称函数公式，涉及 $\Delta_{h_m}\Delta_{e_{n-k}}\omega(p_n)$ 并按 $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}$ 缩放，猜想其等于带标签偏标记方格路径上的生成函数。
• 引入组合对象：带标签偏标记方格路径，通过统计量追踪面积、dinv以及标记部分。
• 利用Hall-Littlewood多项式 $\widetilde{H}_\mu$、幂和对 $p_n$ 以及对合 $\omega$ 的对称函数恒等式，将对称函数侧与路径统计量联系起来。
• 应用 $q=0$ 特殊化，将广义Δ平方猜想约化为已知的 $q=0$ 情形下的Δ猜想，借助 [Garsia-Haglund-Remmel-Yoo-2017] 中的已知结果。
• 通过推广Can与Loehr的 $q,t$-平方定理，利用路径分解与生成函数恒等式，证明Schr"oder情形 $\langle \cdot, e_{n-d}h_d \rangle$。
• 在带标签方格路径上引入一个新的组合对合，该对合保持关键统计量，并在固定 $m$ 与 $n$ 的猜想之间建立线性关系，将其与对称函数恒等式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Δ猜想能否被扩展至方格路径模型，从而统一Dyck路径与方格路径的组合结构？
• RQ2 当 $m=k=0$ 时，广义Δ平方猜想是否退化为已知的平方猜想？
• RQ3 广义Δ平方猜想的Schr"oder情形是否为Can与Loehr的 $q,t$-平方定理的广泛推广？
• RQ4 广义Δ平方猜想的 $q=0$ 特殊化能否通过约化为Δ猜想的 $q=0$ 情形来证明？
• RQ5 在固定 $m$ 与 $n$ 的广义Δ平方猜想之间，其线性关系背后的组合结构是什么？

主要发现

• 当 $m=k=0$ 时，广义Δ平方猜想退化为Loehr与Warrington的平方猜想，验证了其与已知定理的一致性。
• 广义Δ平方猜想的 $q=0$ 特殊化情形已通过约化为已知的Δ猜想的 $q=0$ 情形而得证。
• 广义Δ平方猜想的Schr"oder情形 $\langle \cdot, e_{n-d}h_d \rangle$ 已被证明，提供了对Can与Loehr的 $q,t$-平方定理的广泛推广。
• 在带标签偏标记方格路径上构造了一个新的组合对合，该对合建立了固定 $m$ 与 $n$ 的猜想之间的线性关系，并将其与对称函数恒等式联系起来。
• 给出了$ q=0 $情形下Δ猜想的新证明，基于对称函数恒等式与路径统计量，该证明自包含且可能具有独立研究价值。
• Schr"oder情形的证明涉及对路径上生成函数的详细分析，利用了 $t$-二项式恒等式与Hall-Littlewood多项式性质，得到了显式的 $t$-模拟二项式系数。