[论文解读] The Denominators of Power Sums of Arithmetic Progressions

Bernd C. Kellner, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文推导出等差数列幂和分母的显式公式，扩展了伯努利的经典公式。它建立了多项式系数为整数的判别准则，并利用 $p$ 进制数位和以及分母的根式与最小公倍数性质，刻画了伯努利多项式连续分母之比无限多次为整数的条件。

ABSTRACT

In a recent paper the authors studied the denominators of polynomials that represent power sums by Bernoulli's formula. Here we extend our results to power sums of arithmetic progressions. In particular, we obtain a simple explicit criterion for integrality of the coefficients of these polynomials. As applications, we obtain new results on the sequence of denominators of the Bernoulli polynomials. A consequence is that certain quotients of successive denominators are infinitely often integers, which we characterize.

研究动机与目标

• 将经典幂和的已知分母公式扩展至等差数列上的幂和。
• 推导这些广义幂和多项式系数为整数的判别准则。
• 刻画伯努利多项式连续分母之比无限多次为整数的条件。
• 阐明 $p$ 进制数位和与根式函数在决定这些分母结构中的作用。

提出的方法

• 利用广义伯努利公式，推导出 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$（即等差数列的幂和）分母的显式公式。
• 通过伯努利多项式参数的变换，将经典分母公式 $S_n(x)$ 的结果推广至广义情形。
• 利用 $p$ 进制数位和 $s_p(n)$ 来刻画分母 $\mathbb{D}_n = \operatorname{denom}(B_n(x) - B_n)$ 的素因子。
• 引入根式函数 $\operatorname{rad}(k)$ 和最小公倍数，以表达 $\mathfrak{D}_n = \operatorname{denom}(B_n(x))$ 和 $\mathbf{D}_n = \operatorname{denom}(B_n)$。
• 利用数位和 $s_p(q^k)$ 的渐近界，证明当 $k \to \infty$ 时 $s_p(q^k) \to \infty$，从而实现对无限次整数比的刻画。
• 借助 Almkvist 和 Meurman 关于有理点上整值伯努利多项式取值的结果，支持主要定理的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，系数属于 $\mathbb{Z}[x]$ 的多项式 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ 成立？
• RQ2 何时比值 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1}$ 和 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1}$ 无限多次为整数？
• RQ3 基底-$p$ 数位和 $s_p(n)$ 与根式函数 $\operatorname{rad}(n+1)$ 如何决定伯努利多项式分母的结构？
• RQ4 参数为 $m$ 和 $r$ 的等差数列上幂和 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ 的分母的精确公式是什么？
• RQ5 为何 $\operatorname{denom}(\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x))$ 的独立性不依赖于 $r$，这源于何种代数结构？

主要发现

• 幂和 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ 的分母为 $\frac{n+1}{\gcd(n+1,m^n)} \cdot \frac{\mathbb{D}_{n+1}}{\gcd(\mathbb{D}_{n+1},m)}$，且与 $r$ 无关。
• 多项式 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ 属于 $\mathbb{Z}[x]$ 当且仅当 $\mathfrak{D}_n \mid m$，其中 $\mathfrak{D}_n = \operatorname{lcm}(\mathbb{D}_n, \mathbf{D}_n)$。
• $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1}$ 无限多次为整数，本文刻画了其等于 1、2 或奇素数 $p$ 的情形。
• 当 $n = 2^k - 1$ 时，若 $n+1$ 不是 2 的幂，则比值 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1} = 2$；否则其值为 1 或 $p$，具体取决于 $n+1$ 的 $p$ 进制数位和。
• 当 $n = p^k - 1$（$p$ 为奇素数）时，比值 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1} = p$；当 $n = p^k q^\ell - 1$ 时，比值为 $1$、$p$、$q$ 或 $pq$，具体取决于 $s_p(q^\ell)$ 和 $s_q(p^k)$ 的数位和。
• $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1}$ 在 $n \geq 2$ 为偶数时恒为奇数，且分母的结构由 $\mathfrak{D}_n$ 的无平方因子性与偶性所决定。